Глава 1

Задача о мгновенном точечном источнике на конечном линейном отрезке

Рассмотрим теперь случай конечного пространства. Возьмем для простоты цилиндрический стержень радиуса r и конечной длины l

к

с началом координатной оси OX (рис. ??). Координата правой

l

имеет ширину h и расположен в точке Таким образом, в данной задаче изначально присутствует целый спектр величин, которые в принципе могли бы сыграть роль характерного пространственного масштаба задачи: l, r, x_o, h. x_o ( в точке x_o расположен центр области энерговыделения). Проанализируем влияние каждого из этих параметров на развитие процесса перераспределения температуры в стержне и рассмотрим условия, при которых влияние всех этих параметров удается исключить. Последнее обстоятельство (в случае его реализации) позволит осуществить переход к постановке, допускающей

Рис. 1.1: Схема одномерной конечной задачи — энерговыделение в сечении х₀ тонкого стержня конечной длины l

и ^А

автомодельное решение, и получить это решение, используя метод анализа размерностей (то есть П-теорему).

Во-первых, будем считать стержень длинным (или тонким, что одно и то же), то есть потребуем выполнения условия

г/1 < 1

Это позволит не учитывать поперечные размеры стержня параметр r исключается из дальнейшего рассмотрения - и считать задачу одномерной.

Если теперь задаться условиями на концах стержня - например, для определенности будем считать, что там искусственно поддерживается исходная температура то математическая постановка такой задачи будет выглядеть следующим образом

d_tu = кд²_ххп (1.1)

29

н >

/ ¹

Рис. 1.2: Схема /-й автомодельной промежуточной стадии — границы еще “не чувствуются"

u(0,t) = u(£, t) = 0 (1.2) u(x, 0) = u₀(x) (1.3)

где u₀(x) - распределение отклонения температуры от некоего его исходного постоянного значения в начальный момент времени.

В контексте исследуемой проблемы естественно положить размер области энерговыделения (где u₀ > 0) достаточно малой, так , чтобы выполнялось условие (рис. ??)

h < Ж0; h < £ — Х0 (1.4)

Как только волна возмущения уйдет от источника на расстояние |x — x₀| ^ h, то детали начального распределения становятся неважны и можно считать, что все тепло в£ = 0 сосредоточено в сечении x = x₀, ah = 0.

Таким образом из дальнейшего рассмотрения исключается

h

1. I-ая автомодельная промежуточная стадия

u

ближайшего края стержня, областью определения задачи можно считать бесконечный интервал (—то, +го) (см. рис. ??).

Запишем начальное условие (??) с учетом (??) в следующем

виде

E

u(x,t = 0) = 6(x — x_o)— = Q5 (x — x_o)

cs

Здесь также, как и в предыдущем случае, использована ^-функция Дирака и условие сохранения в пространстве выделенной энергии

ГО

cS J udx = E = const (1.5)

— ГО

Аналогично предыдущему случаю (глава 2) проведем анализ размерностей на этой стадии. Исходная зависимость между определяемым и определяющими параметрами в размерном виде будет иметь вид

u = f (t, кс, Q, x — xo) (1.6)

к

поскольку начало координат на этой стадии естественно совместить с

^xo

точки. При этом

n = 4; k = 3 i = n — k = 1

a [u] = [Q]/L, что сразу следует из начального условия.

Следовательно, в безразмерных переменных соотношение (??) приобретает вид

П = Ф(П); П1 = £ = (х — х₀)/л/к£; П = п/п₀; по = Q/\[KKt

В этих переменных, как уже отмечалось ранее, распределение температуры (или давления) для всех моментов времени представляется единой кривой, то есть является автомодельным, и в различные моменты времени ti и t₂ получается одно из другого (п₁ из п₂) преобразованием подобия.

Для отыскания конкретного вида этой кривой реализуем второй этап схемы, описанной в лекции 2: от уравнения в частных производных (??) для функции u(x,t) перейдем к обыкновенному дифференциальному уравнению (о.д.у.) для функции Ф(£). Данный переход осуществляется путем следующих очевидных преобразований

д_хп = ^Q Ф'; дХ_хп = —^Q3T2 Ф'';

^х Kt ’ ^хх (Kt)^3/2 ’

д₁п = ———^Qt-₂ Ф — ^Qt-₂ £ Ф' = ———^Qt-₂ (Ф + £ Ф') * 21 (Kt)^1/2 21 (Kt)^1/2^ 21 (Kt)^{1/2 (} ^ ⁾

СЮ СЮ 1 сю

/ udx = Q ^ / u<^(£)dx = Q~^= [ Ф(£)dx = —ю —Ю V^Kt —Ю

Ю Ю

= Q / Ф(£)d^x—4⁰ = Q / Ф(£)d£ = Q ^

-L v^Kt JL

сю

J Ф(£)d£ = 1

—Ю

Учитывая, что второе и третье слагаемые в уравнении (?? сворачиваются в полную производную 1/2(£Ф)', окончательно получаем следующую задачу для уравнения, правая часть которого представляет собой полный дифференциал

ф" + 2(? ф)' = 0

Ф(±ю) = 0 (1.8)

_сЮ

/ Ф(£)d£ = 1

—Ю

Первый интеграл уравнения (??) есть

ф' + ¹ £ Ф = const (1.9)

2

Для определения константы воспользуемся соображениями симметрии — на бесконечной оси (бесконечном стержне) решение должно быть симметрично относительно точки расположения источника, то есть точки £ = 0. Следовательно

Ф'(£ = 0) = 0 ^ const = 0

Тогда, проведя очевидные преобразования уравнения (??

^Ф 1 ^Ф 1 1 ₂

Ц = ^— 2^£ф; Т = ^— 2 = ^— 4^d(£2)

A

Ф = A exp(—£²/4) зз

удовлетворяющее граничным условиям на Ф; при этом конетанта A определяется из второго (интегрального) условия для Ф

СЮ

A f exp(—£²/4)d£ = 2A / e ^z2dz = 2A^~n = 1 : A =

2ypn

z=

i/2).

Окончательно, переходя к размерным переменным,

(x — xo)²

u

(1.10)

Q

u = —exp 2^/nKt

4Kt

x

h ^ | x — x_o | ^ x_o, £ — x_o

(1.11)

то есть на I-ii промежуточной стадии процесса.

Для того, чтобы указать соответствующие границы временного интервала справедливости полученного решения (??), учтем

следующее обстоятельство.Строго говоря, представленное решение (?? линейного уравнения теплопроводности справедливо только на бесконечном интервале, так как описывает мгновенное распространение возмущения в бесконечной области, то есть с бесконечной скоростью. Однако на больших расстояниях величина этого возмущения, как легко определить по указанному соотношению, ничтожно мала, и ею можно пренебречь, “не замечая” пришедшего в эти области возмущения. Поэтому для анализа реальных физических процессов на базе полученного формального математического решения необходимо ввести некоторый количественный критерий “реальности (или осязаемости)”

пришедшего в данную точку пространства возмущения. Выберем в качестве такового 1% от текущего максимального значения возмущения u_m. Последнее, очевидно, есть значение возмущения (значение функции u) в точке расположения источника xo, то есть u_m = Q/2\[лкЪ.

Итак, началом “дееспособности” проведенного рассмотрения, определяемым левым неравенством (??), то есть соответствующим условию h ^ |x — x_o|, будет время t^o, отвечающее

^xo

расстояние |x — x_o| ~ 10h

_ (10h)² _2 u = u_me 4Kt⁰ = 10 u_m

откуда

(10h)² ₀ ^ - 1 A ^{— 2}

e 4Kt⁰ ^ 10

Логарифмируя, получаем

(10h)²

j-o h²

t nu

к

o

ln e 4Kt⁰ ^ —2 • 2, 3 10²h² . 10²h²

гч_;

—4,6: ——— ~ t

4Kt^o ’ ’ 20k

Выполнению правой части условия (??) соответствует

время, за которое возмущение от источника энерговыделения (или

массовыделения) добежит до ближайшей границы стержня (пусть для

^xo

от источника - см. рис. ??). После этого данная граница “вступит в игру”, то есть процесс перераспределения тепла (массы) начнет “чувствовать влияние” этой границы, и решение, полученное для задачи на безграничном стержне, перестанет быть справедливым.

x=0

момент времени t*, когда значение функции u на этой границе (в точке

x = 0 достигнет величины 10 ²u

2

^ 1/Л-2

m

u = u_me ^4Kt* = 10 u

то есть

2

2

x

e 4«t* no 10

или, после логарифмирования

2

x

in e ^4Kt* ~ —2-2,3

x

x

-4, 6;

^t

^t

гч_;

гч_;

гч_;

4Kt*

20к

(1.12)

Именно с этого момента времени решение, полученное для бесконечного стержня, теряет силу.

Таким образом, временным аналогом условия (??) справедливости полученного автомодельного решения (??) будет условие

h²/K < t < 0, 1x0/k

или, с учетом (??), откуда следует, что h < 10^—1x₀, условие

12

10 ²x0/k < t < 10 ¹x0/k

2. II-ая автомодельная промежуточная стадия

£ x0 = x0

возможности полученного автомодельного решения на этом оказываются

t > t*

£

решение которой уже не будет обладать свойством самоподобия.

Если же имеет место существенная асимметрия расположения источника, например, £ — x₀ ^ x₀, как это показано на рис. ??, то возникает следующая ситуация: после того как

волна возмущения уже “упрется” в ближайшую (в данном случае - левую) границу, дальней границы она еще не “почувствует” и будет распростроняться по направлению к ней как по бесконечной среде. Более того, когда волна возмущения убежит направо достаточно далеко, чтобы выполнялось условие x ^ x₀, детали расположения источника перестанут играть роль, и возмущение будет распространяться вправо как по полубесконечному стержню от источника с характерным размером x₀ x = 0

будет сохраняться до тех пор, пока распространяющееся возмущение не “почувствует” правую границу (в соответствии с принятым критерием). Оцепим время t*, после которого правый край “даст о себе почувствовать”, и рассмотрение стержня как полубесконечного потеряет силу. Пусть, для определенности, £ — x₀ > 30x₀. В этом случае для правой границы, где x=£

(^£-*о)² ... ₂ (£ — x0)² . ,,

е^—~—^ — 10 ; — - 4,6

4Kt*

1. ^{(£ — x}0^{)2 1 103x}0 ₁₀2 ^x0

t — — — 10 —

K 10 K K

^t0

котором речь пойдет несколько ниже) задача может рассматриваться на полубесконечном интервале 0 < x < то.

При этом в качестве граничных условий естественно использовать исходные условия

п(0^) = п(то^) = 0 (1.13)

а вот в законе сохранения надо учесть то, что область энерговыделения на данной стадии процесса перестает быть точечной и оказывается “размазанной” по интервалу размером ~ xo- Для этого умножим исходное

x

по всему рассматриваемому полубесконечному интервалу

СЮ СЮ

J d_tuxdx = к J dX_xuxdx oo

Возьмем интеграл в правой части полученного соотношения по частям (а = x; db = dX_xudx) и используем условия (??), а также то соображение, что для интегрируемости на полубесконечном интервале функция u должна иметь при x ^ ю своей мажорантой функцию с поведением ~ x^-2. Из последнего следует, что d_xu(x, t) ~ x^-3 при x ^ ю. Тогда

оо / оо \

d_t J uxdx = к xd_xu|0 — J d_xudx I =

oo

= к(ю • d_xu(o, t) —0 • d_xu(0, t) + u(0, t) — u(ro, t)) = 0

' ^'

Следовательно

Ю

J uxdx = M = const

o

Так как полученное условие справедливо для любого

M

начальным условием

u(x, 0) = Q£(x — x₀)

что дает

Ю

J Q£(x — x₀)xdx = Qx₀ = M

o

то есть для задачи на полубесконечном интервале получаем новый инвариант M, отличный от инварианта Q в задаче для бесконечного стержня.

Проведем анализ размерностей для вновь полученной

задачи

d_tu = Kd|_xu; u(0,t) = u(ro,t) = 0;y uxdx = M (1-14)

0

^t0

временной оси). При этом размер прогретой области x ^ x₀, но x ^ £ — x₀, т.е. непосредственно в процессе распространения возмущения u ^x0

u = f (t — t₀,x, к, M) (1-15)

При этом получаем задачу, аналогичную предыдущей, но

^t0

инварианта Q появляется инвариант M с размерноетью [M] = [u]L². Следовательно, общее число размерных переменных и число переменных с независимыми размерностями в (??) остаются неизменными, и вновь можно перейти к безразмерной форме записи данной зависимости

П = Ф1(П1); £ = П1

где

Mx ^п = ^u/u0; ^u0 = -т-——^, а ^П1 = ^£ = , =

K(t — t0) y^K(t — t0)

Для определения вида функции Ф₁ вновь подставим

полученное выражение

u = UoФl(£)

39

??

в исходное уравнение

м

д+п = п₀Ф1

х

Ф

¹ V 2к^1/2(+ —to)^3/V «(*—to)'

^дх^п = ^п0Ф1 TKcbtO)

^дхх^п — ^п0^Ф

'' 1

¹ к(+—to)

M

1

x

п0Ф1

= — п0 Ф1

X ^{(t — t}0^{) п}0

2 ^Ф1

2K^1/2(t —10)^3/2 K(t t0)

^{(t — t}0⁾

x

Ф'' = —

Ф^'₁ Ф1

В результате получаем о.д.у.

1

Ф1' + 2 - Ф1 + Ф1 = 0

(1.16)

с соответствующими граничными и интегральным условиями

1. u(0,t) = u(ro,t) = 0 ^ Ф₁(0) = 0; Ф₁(то) = 0

СЮ

СЮ

2. У uxdx = M ^ J u^^dx = 00

M °° ⁰⁰

— / Ф^^ = M / Ф₁£^£ = M

^{K(t —1}0⁾ 0 0

/с Ф1(? )df = 1

Сопоставление структуры условия 2 в задаче на бесконечном интервале со структурой получаемого при этом решения

_С

— СЮ

^Ф(с)d- = ^{1 — Ф —} exp | ^— ^

позволяют из соображение аналогии предположить следующий вид

^Ф1

_i2

_С

/^с‘М^- = 1 ^{— Ф}1 ^{— -}exp ( ^— —

Итак, пусть

Фх = B£ exp ^—^

Проверпм справедливость сделанного предположения, и, если оно подтвердится, найдем значение константы B

—

ФХ = в exp(.) — — £² exp(.)

BB ^Ф! = ^— тг^{£ ex}p⁽.^{) — B£ ex}p⁽.⁾ + -4^{£ 3 ex}p⁽.⁾

Подставляя значения функции Ф_х и ее производных в уравнение (??)

BB ^—тг^{£ ex}p⁽.^{) — B£ ex}p⁽.⁾ + -4^{£ 3 ex}p⁽.⁾+

BB +тг £ exp(.) — — £³ exp(.) + B£ exp(.) = 0

получаем, что она удовлетворяет данному уравнению и, следовательно, является его решением.

B

интегральным условием

В.В. Кадет Прикладные задачи математической физики. 1

В.В. Кадет Прикладные задачи математической физики. 2

Оглавление 4

Предисловие 9

Введение. Анализ размерностей и подобие 12

[и] — [ДТ] — [Q] • L^-3 32

Задача о мгновенном точечном источнике на конечном линейном отрезке 42

= t^—3/2 1 + 3t° + O 65

Q и = 67

Задача о мгновенном источнике в нелинейной среде 85

дм 90

к 90

d² к₁ d² d² 90

Разрешение парадокса. Численный эксперимент. Предельное автомодельное решение 95

Полная и неполная автомодельность. Автомодельные решения первого и второго рода 115

Решения типа бегущих волн. Их связь с автомодельными решениями 126

Сильные фильтрационные и тепловые волны 144