Глава 7 177

^2(ui ^{- u}2⁾q% = \13^^(ui ^{- u}2⁾q^2(ui ^{- u}2^{)(1 -} q^2)(ui ^{- и}3^{) 1 -} q²S-2 187

= j^(ui ^{- u}3^{)/3a(1 -} q²⁾ (^{1 -} q²) ^(ui ^{- u}2⁾q 187

Понятие о локализации тепла и граничных режимах с обострением 200

Понятие о фракталах и фрактальной размерности. Самоподобные кривые 226

К у 266

^А Нл(М/ К \ 296

0

где к - температуропроводность; c - удельная теплоемкость; E -

количество выделяющегося тепла; r* - сколь угодно малое (но не равное строго нулю) расстояние от точки расположения источника, принятое за

r=0

Используя обобщенную функцию Дирака*¹ .£(•), эти два Свойства некоторых математических функций, а так же специальных функций математической физики подробнее рассмотрены в приложении в конце книги. Далее они будут отмечаться звездочкой условия можно объединить в одно

^и(г,^{0) — й(г)}4_П¹_Г5 • ^Q

Граничное условие на бесконечности естественно записать

в виде

u(ro, t) — 0 (4)

которое, кстати, автоматически следует из приведенной записи начального условия, поскольку при произвольном t и г* также произвольно большая, но конечная величина.

Алгоритм проведения анализа размерностей для данной задачи будет выглядеть следующим образом,.

Очевидно, величина и будет определяться величинами г, t, к

и Q

^{u — f (r,t,K,Q)} (5)

Размерности определяющих параметров имеют при этом

вид

L 2

[г] — L; [t] — T; [к] — -; [Q] — K • L³

Легко видеть, что из четырех определяющих параметров mpw имеют независимые размерности, например -1, к, Q.

П

безразмерным переменным функция (??) будет представлять собой функцию

n — k = 1

4. 3

всего лишь одного переменного

П = ^(ПО (6)

где безразмерные комплексы П и П₁ получаются следующим образом. Из размерностей величин, выбранных в качестве определяющих параметров с независимыми размерностями, можно “сконструировать” (то есть выразить) размерность оставшегося определяющего параметра. В данном случае такая “кострукция” будет выглядеть так

[r] = ([к] ■ [t])^1/2

и, следовательно, безразмерный определяющий параметр

П₁ = г/ л/Kt

Вообще говоря, в качестве определяющих параметров с независимыми размерностями можно выбрать и другую тройку переменных — допустим, г, к, Q, и из их размерностей составлять

t

аргументов с независимыми размерностями определяется соображениями удобства. Наиболее широко употребительным является подход, позволяющий “конструировать” переменный (зависящий от времени) пространственный масштаб. Поэтому, как правило, в “базовую” систему аргументов с независимыми размерностями не включают пространственную координату с тем, чтобы выразить ее размерность

через размерности аргументов “базовой” системы, и тем самым получить ^П1

переменный пространственный масштаб данной задачи.

и

через размерности “базовой” системы аргументов, в данном случае есть

[и] — [ДТ] — [Q] • L^-3

откуда

(7)

Если ввести теперь обозначения для переменных масштабов пространства го и температуры ио

го — \/к£; ио — Q/ (Kt)^3/2

а также, для удобства, традиционное обозначение безразмерной

^П1

£ = П — г/го окончательно запишем (??) в виде

(8)

^и/ио ^— ^^(£)

Это есть классическая автомодельность с переменными

масштабами г₀ — л/Kt; u₀ — Q/(Kt)^3/2, определяющими коэффициенты

t

бесконечном интервале для получения их вида листаточно одного анализа размерностей.

Вычисляя на основании (??) и (??) частные производные

dtu = uo (—(3/2t)<p — (1/2t)£^') dr u = (uo/ro)^'; d^ u = (uoAo)/'

и подставляя их в исходное уравнение (??), получаем для ^ обыкновенное дифференциальное уравнение с соответствующим граничным условием

u(ro,t) = u_o^(ro) = 0 ^ ^(го) = 0

то есть окончательно имеем математическую задачу для определения вида функции ^

+^(2/^⁾^' + ⁽^^/2)^' + ^(3/2)^ = ⁰ , ч

(У)

^(го) = 0

По виду уравнения (??) несложно догадаться (тем более имея опыт общения с задачами теплопроводности и /или пьезопроводности — в частности, с линейными уравнениями параболического типа), что решение этого уравнения при данном условии будет иметь экспоненциальный характер (проверьте)

у = A exp(—£²/4)

A

После подстановки в пего выражений для uo и ^

Q ^го

^A • ^4п~з^ro ^{£2 ex}P^(—£^2/4)d£ = ^Q

^ro o

а также с учетом того, что

го

/ ^{£2 ex}P^{(—£ 2/4)d£} = ²V^

o

получаем

A4n2^n = 1

Рис. 1: Кривая распределения температуры (давления) в безразмерных переменных

откуда

1

A =

8п^3/2

и, соответственно

2

1/ _Г 4 r0

exp

^ 3

u = Q/ (2\/nKt) exp (—r²/4Kt) = 8n^3/2u₀

Таким образом, в выбранных переменных единицах u0 r0 u

t

Очевидная аналогия задачи теплопроводности с фильтрационной задачей прослеживается очень легко.

В последнем случае уравнение (??), которое при этом будет именоваться уравнением пъезопроводности, а также начальное и граничное условия (??) (??) останутся прежними, только определяемый параметр u будет представлять собой превышение давления P над начальным постоянным фоновым давлением P₀: u = AP = P — P₀.

Изменение количества массы в любой точке (физически малом объеме) пространства будет определяться изменением плотности жидкости Др — р_овДР где р_о - начальная плотность флюида, а в ^_ коэффициент его сжимаемости.

Соответственно, выражение (??) будет представлять собой закон сохранения массы, где E необходимо интерпретировать как количество впрыснутого флюида, с - как произведение ров к - как пьезопроводность. При этом будем иметь [и]=Па, a [Q]=na-L³.

Таким образом, с точностью до интерпретации физического

ик температуропроводность или пьезопроводность, E - энергия пли масса, с _ уд_ельная теплоемкость или произведение р_ов) задачи теплопроводности и фильтрации оказываются неразличимыми в своей математической постановке, а, следовательно, и с точки зрения получаемого решения.