Глава 13

Приложение

Функция Дирака £( )

Обобщенные функции впервые в науку были введены П. Дираком в его квантомеханических исследованиях, в которых систематически использовалась ^-функция. Основы математической теории обобщенных функций были заложены С.Л. Соболевым и Л. Шварцем.

В настоящее время теория обобщенных функций далеко продвинута вперед, имеет многочисленные применения в физике и математике.

Обобщенная функция является обобщением классического понятия функции. Это обобщение, с одной стороны, дает возможность выразить в математической форме такие понятия, как, например, плотность материальной точки, плотность точечного заряда или диполя, плотность простого или двойного слоя, интенсивность мгновенного точечного источника, интенсивность силы, приложенной в точке, и т.д. С другой стороны, в понятии обобщенной функции находит отражение тот факт, что реально нельзя, например, измерить плотность вещества в точке, а можно измерить лишь его среднюю плотность в достаточно малой окрестности этой точки и объявить это плостностью в данной точке; грубо говоря, обобщенная функция определяется своими „средними значениями“ в окрестностях каждой точки.

От плотности 6 естественно требовать, чтобы интеграл от нее по любому объему V давал бы массу вещества, заключенного в этом объеме, т.е.

г ■ 1, если 0 Е V,

/ 6 (x) dx = <

• [ 0, если 0ЁV.

Чтобы пояснить сказанное, попытаемся определить плотность, создаваемую материальной точкой массы 1. Считаем, что эта точка совпадает с началом координат.

Чтобы определить эту плотность, распределим (или, как говорят, размажем) массу 1 равномерно внутри шара U_e. В результате получим среднюю плотность

■ Т-^з, |x| < б, f (*)= ^{, ,}

^ 0, |x| > б.

Примем сначала в качестве искомой плотности (мы ее 6 (x)

плотностей /_е (x) при б ^ 0, т.е.

{+оо, если x = 0,

(13.1)

0. x = 0.

Но, в силу (??), левая часть этого равенства всегда равна нулю, полученное противоречие показывает, что поточечный предел последовательности /_е, е ^ 0, не может быть принят в качестве плотности 6 (ж).

Вычислим теперь слабый предел, последовательности

функций /_е (ж), е ^ 0 ^т-^е- Д^ля любой непрерывной функции ^ найдем предел числовой последовательности / /_е^ж при е ^ 0.

Покажем, что

Действительно, в силу непрерывности функции ^ (ж) для

любого п > 0 существует такое е_о > 0, что |^ (ж) - ^ (0)| < п, коль скоро |ж| < е_о. Отсюда при всех е < е_о получаем

^|/ /_е ^{(ж) (ж)} ^^{ж -} ^ ^(0)| = 4П“^з |/|ж|<е^[^ ^{(ж) - (0)]} ^^ж <

< 4П? /|ж|<_е ^ ^{(ж) - (0)|} ^^ж <П4П? /|ж|<_е ^^ж = П

что и утверждалось.

Таким образом, слабым пределом последовательности функций /_е (ж) е ^ 0, является функционал ^ (0), сопоставляющий каждой непрерывной функции ^ (ж) число ^ (0) — значение ее в точке ж = 0. Вот этот-то функционал и принимается за определение плотности 6 (ж) 6

ж = 0 m

соответствующую плотность следует считать равной ш6(ж). Если масса m сосредоточена в точке ж_о, то ее плотность естественно считать равной m6(ж - ж_о), где (т6(ж - ж_о),^) = т^(ж_о). И вообще, если в различных точках ж_к, к = 1, 2,..., N, сосредоточены массы m_k, то соответствующая плотность равна

N

^ mk6 (ж - жк). к=1

Таким образом, плотность, создаваемая материальными точками, не может быть описана в рамках классического понятия функции, и для ее описания следует привлекать объекты более общей математической природы — линейные непрерывные функционалы (обобщенные функции).

Приведем сводку наиболее употребительных формул и

S

1. S(-x) = S(x).

2. S(ax) = aS(x).

3. ^SMx)) = En.fgn)',

если ^(x) имеет только простые пули x_n.

4. xS(x) = 0 p(x)S(x) = ^(0)S(x), p(a ± x)S(x) = (p(a)S(x).

5. Z| p(x)S(x - x₀)dx = ^(x₀).

6. Z-l S(x - t)S(s - t)dx = S(x - s).

7. S'(x) = -¹ S(x).

8. J-1 (p(x)S'(x - x0)dx = -^^/(x0), если ^(x₀) непрерывна при x = x₀.

9. Z-l S'(x - t)S(s - t)dx = S'(x - s).

10- &^S(x) = (- ¹)ⁿn^S(x).

11. Л ^(x)S(x - s)dx = (- 1}Vⁿ⁾(s),

если ^ⁿ(x) непрерывна при x = s.

11. Z Z Z-1 <^(M)S(M, M0)dru = ^(M0).

170

Для трехмерного случая, в декартовых координатах:

1. 6(M, M0) = 6(x — x0)6(y — y0)6(z — Z0).

2. 6(M, M₀) = 16(г — r₀)6(p — p₀) ^в полярных координатах на плоскости.

3. 6(M, M₀) = Г_6(г — r₀)6(0 — 0₀)6(p — p₀) в сферических координатах.

4. 6(M, M₀) = ^—q3) в произвольных ортогональных криволинейных координатах (q₁q₂q3^- Здесь h₁,h₂,h₃ — коэффициенты Ламэ.

Встречаются также обобщенные функции 6+(x) и 6_—(x), которые определяются формально с помощью представления

^x^ /0“ ^e"^{,ex d}C

1

⁶-(x) — /1 ^ = /0“ e«^xdC

. Очевидно, 6+(x) + 6_—(x) = 6(x) и 6+(—x) = 6_—(x).

Интеграл Эйлера I рода

в

1

x—1/i ^y^—1,

B (x,y) = J t^{x 1}(1 — t)^{y 1}dt

представляет собой хорошо изученный математический объект, определение численного значения которого не представляет особых сложностей.

в

^{B (x,}y⁾ =

r(x)r(y)

r(x + y) ’

где

сю

Г(ж) = | e^-tt^x-1dt о

есть 7-функция или интеграл Эйлера II рода, причем

Г(п + 1) = n!; Г(1) = 1

График 7-функции представлен на рис. 1.

График функции 1/7, представленн на рис. 2.

Итак, представив интеграл Эйлера в виде 1 1 1

j (1 - c²)^1/nc²dc = 2 j (1 - c²)^1/n(c²)^1/22cdc

о ² о

и произведя замену переменной Z² = t приводим его к стандартному

виду

1

1/2/1^1/2(1 - t)^1/ndt

о

откуда получаем, что ж - 1 = 1/2; у - 1 = 1/n, или, соответственно

ж = 3/2; у = 1 + 1/n = (n + 1)/n

что позволяет переписать соотношение (??) в более компактной форме. Функции параболического цилиндра

Функции параболического цилиндра, функции Вебера, Вебера-Эрмита - решения дифференциального уравнения

d²y ( 1 z² \

+ (^v + 2 ^- 4 ) ^У = ⁰

которое получается в результате разделения переменных в волновом уравнении Au = k²u в параболических цилиндрических координатах. Наиболее часто используется решение

1. Dv(z) = U (-v - 1, ^ = 2^(v-1)/2e^-z2/2Ф ₂ , _{2 2}

   172

   ^ ~(v-1)/2_e-z^2/° - I^{1 - v 3 z}

Рис. 13.1: График функции у = Г (ж).

где Ф(а,&; z) — вырожденная гнпергеометрнческая функция. Приведенному дифференциальному уравнению удовлетворяют также D_v(z) и D_-v-1(±iz). Функции D_v(z) и D_-v-1(±iz) линейно независимы при _любых v, D_v (z) и D_v (-z) при v = 0, ±1, ±2,... Функции параболического цилиндра — целые функции от z. Функция D_v (z)

vz

Формулы дифференцирования (п = 1, 2,...):

dⁿ dz ⁿ

_z2/4

.^z ' ■ 'z

D_v (z) = (-1)» (-v)ⁿe^z2/4D„-»(z),

_dn

e^-z2/4D_v (z) = (-1)ⁿe^-z2/4D.

'v+n.

dz ⁿ

Рекуррентные формулы:

Dv+1(z) - zDv(z) + vDv- 1(z) = 0, _z

D'_v(z) + 2Dv(z) - vDv-i(z) = 0,

^Dv ^{(z) -} 2^Dv ^(z) + ^Dv+1^(z) = ⁰.

Вырожденная гнпергеометрнческая функция

Вырожденная гипергеометрическая пункция - решение вырожденного гипергеометрического уравнения

Основные интегральные представления:

^r(Y ⁾ f¹ „z^a-1

r(a)r(Y - a)

zw" + (y - z)w^f - aw = 0.

M(aYz) ^ ^ e^ztt^{a 1}(1 - t)^{Y a 1}dt, Re y > Re a> 0;

1) 1

^(aYz) = ^ У_о e^—ztt^(У—1(1+ .у^-0-1-., Re a> 0, Re z> 0.

В нашем случае

,-a 1 Г(¹) ¹ «² . а 2 ч“ + ¹ ,

^M(-Т ^{- 1} 2,1⁾ = Г^^ТГfcl)/^e^^{а-2(1 - а}+^2dt

2. 2 2е Г(-2 - 1)Г(I + 2) 0

Эллиптический интеграл

Интегралы вида

J R ^x, Vax³ + bx² + cx + dx

и

J R ^x, Vax⁴ + bx³ + cx² + dx + dx

не выражаются через элементарные функции. В тех случаях, когда эти интегралы не являются элементарными функциями, их называют эллиптическими. В тех случаях, когда интегралы удается выразить через элементарные функции, они называются псевдоэллиптическими.

Интегралы, приведенных типов, не выражающиеся через элементарные функции, могут быть в результате ряда преобразований¹ сведены к элементарным функциям и к интегралам следующих трех типов:

J 1/^(1 — t²) (1 — k²t²)dt,

У t²/^(1 — t²) (1 — k²t²)dt,

J 1/ (1 + ht²) У(1 — t²) (1 — k²t²)²dt,

где 0 < k < 1.

Подстановкой t = sin p (0 < p < интегралы могут быть сведены к следующей форме, называемой лежандровой:

j 1/\J 1 — k² sin² pdp

эллиптический интеграл 1-го рода,

J \Д — k² sin² pdp

'('.м. Фихтенгольц, т. 1

эллиптический интеграл 2-го рода,

У 1/ (1 + h sin² \J1 - k² sin² ifdif

эллиптический интеграл 3-го рода,

В нашем случае

^{Z (q)} = / V1 - <?V1 - S²q²

представляет собой эллиптический интеграл 1-го рода в нормальной

форме Лагранжа или эллиптическую функцию Якоби, для которой используют также следующее обозначение

= sn^-1(q, S) = arcsn(q, S)

о V(1 - q²)(1 - S²q²)

sn

Гиперболические функции

Гиперболические функции определяются формулами:

e ^x

sh ж = гиперболический синус,

2

e^x I e ^x

ch ж = гиперболический косинус.

Иногда рассматривается также гиперболический тангенс:

sh ж

th ж =

ch ж

Основные соотношения:

О О

ch² ж - sh² ж = 1 , sh^ ± у) = sh ж ch у ± ch ж sh у, сЦж ± у) = ch ж ch у ± sh ж sh у, Ш(ж ± у) = (th ж ± th у)/(1 ± th ж th у), sh 2ж = 2 sh ж ch ж,

О О

ch 2ж = ch ж + sh ж.

Arsh x = ln(x + л/ x² + 1),

Ar ch x = ln(x + л/x² — 1), x > 1,

Ail 1 1 1 + x I,

Arthx = - In , x < 1.

2 1- x ¹¹

Алфавитный указатель

А

Автомодельная I-ая промежуточная стадия 31 Автомодельная II-ая промежуточная стадия 36 Автомодельное решение 1 рода 70 Автомодельное решение 2 рода 71 Автомодельные решения 46 Автомодельная промежуточная асимптотика 55 Амплитуда уединенной волны 101 Анализ размерностей 18

Асимптотическое представление поведения функции 43 Асимптотическое представление 59

Б

Баланс потоков 134 Безразмерные комплексы 19 Берущая волна 77 Безнапорное течение 133

В

Векторное уравнение Навье-Стокса 117 Влияние левой границы 35

Влияние правой границы 37 Внутренняя структура волны 80

Водонасыгценность 135 Волны конечной амплитуды на поверхности жидкости 95 Волны на грин и цк раздела жидкость газ 95 Вырожденная задача 66

Г

Гидродинамика тонкой пленки на поверхности 117

Гидрастатический закон давления 134

Гидродинамическая нелинейность 82

Гистерезис характеристик среды 47

Глобальное число Рейнольса 129

Граница раздела областей нагрузки, разгрузки 51

Границы распространения теплового возмущения 105

Граничные условия 39

Граничный режим обострения 106

д

Динамическая скорость 128 Диффузный слой 124 Длинные волны 96

Е

Единица измерения 10

3

Задача о расплывании бугра подземных вод 133

Закон Дарси 84 Закон Фика 84

Закон распространения фронта 75 Закон Бойля-Мариотта 84 Закон сохранения 37 Закон сохранения массы 27

И

Инвариант 38, 64 Интегральные условия 39 Интерференция решений 41

Интегральная кривая дифференциального уравнения 78 Интегральная внутренняя энергия процесса 103

К

Класс С.Е.И. 11 Кноидальноя волна 100 Ковер Серпинского 110 Короткие волны 96 Конвективная диффузия 123 Константа Кармана 129

Л

Ламинарное течение с постоянной толщиной пленки 121 Ламинарное волновое течение (капиллярные волны) 121 Линеаризованные уравнения состояния 48 Логистический закон генерации в биологических системах 76 Локальное число Рейнольдса 129

Локализация тепла или массы 102 Логарифмический закон распределения скоростей 130

М

Масштаб толщины фронта 80 Мажоранта 38

Мгновенный точечный источник на конечном линейном отрезке 28 Мгновенный источник в нелинейной среде 47 Мгновенный точечный тепловой источник в бесконечной среде 21 Мелкая вода 96

Модифицированная задача о точечном источнике 66 Н

Направленный турбулентный поток вдоль поверхности 127 Начальное условие „переходного“ типа 81 Нелинейные объемные процессы в системе 83 Неполная автомодельность по параметру 69 Нелинейное уравнение теплопроводности 84

Нелинейная задача на собственные значения 61 Ньютонавская жидкость (линейный закон трения) 127

О

Объемное поглощение тепла 103 Обыкновенное дифференциальное уравнение 25

Обыкновенное дифференциальное уравнение с разрывным коэффициентом при старшей производной 52 Однородные фракталы 111

Опыты Никурадзе 131

Особые точки дифференциального уравнения 78 Остаточные деформации 49 Определяемый параметр 12 Определяющие параметры 12

П

Предельный переход к линейному случаю 93 Потенциальное течение 96 Пристеночная область 128 Полная автомодельность по параметру 69 Пьезометрический напор 134 Плотность диффузионного потока 125 Полный поток газа через поверхность 125 Полулинейное уравнение 83 Постановка математической задачи 85 Параметры подобия 19 Переменный масштаб 24 Переходный период 44

“Промежуточно-асимптотическое” поведение решений 46 П-теорема 18 Р

Размерность 10, 13 Размерность подобия 109 Разветвленность фрактала 111 Реальный фрактальный объект 113 Регулярные искусственные фракталы 110

Решение вырожденной автомодельной задачи 72 С

Самоподобная кривая 45 Самоподобные кривые 113 Симметрия задачи 61 Система единиц измерения (С.Е.И.) 11 Сильная тепловая волна 91 Сильная фильтрационная волна 93

Собственный характерный пространственный масштаб задачи 57

Статистическое самоподобие 113

Субстанциональная производная 118

Средняя скорость в поперечном сечении пленки 122

Средние волны 96

Степенной коэффициент теплопроводности 103 Степенной закон изменения средней скорости потока 131 Стационарная бегущая волна 77 Стационарная бегущая волна первого рода 78 Стационарная бегущая волна второго рода 82 Скорость фронта волны 78

Т

Толщина диффузионного слоя 126 Тепловая волна излучения 93 Турбулентное течение 121

У

Уедененная волна в реальном канале 96

Устойчивое решение 79 Ударная волна разряжения 81 Уравнение Бюргерса 78 Уединенная волна (солитон) 101 Упруго-пластическое поведение среды 49 Уравнение теплопроводности 21 Уравнение пьезопроводности 26 Уравнение Зельдовича 83 Уравнение Кортевеги Де-Фризи 97

Уравнение Колмогорова-Петровского-Пискунова (КПП) 76 Уравнение неразрывности 117 Ф

Фазовая плоскость 78 Фрактальная размерность 110 Фрактал 110

Фрактальная размерность 110 Фронт химической реакции с диффузией 76 X

Характерный пространственный масштаб задачи 28

Ч

Число Рейнольдса 126 Число Прандтля 126 Ш

Ширина уединенной волны 101

Литература

1. Баренблатт Г. И. Подобие, автомодельность промежуточная асимптотика. Л.: Гидрометеоиздат. 1982, 255 с.

2. Самарский А.А., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А. П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Недра, 1987, 480 с.

3. Баренблатт Г.И. Анализ размерностей. М.: МФТИ, 1987, 165 с.

4. Мартинсон Л.К., Малое Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики. М.: МГТУ им. Н.Э.Баумана. 1996, 364 с.

5. Кудряшов Н.А. Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений. М.: МФТИ, 2002, 304 с.

6. Левин В.Г. Физико-химическая гидродинамика. М.: Физматгиз, 1959, 699 с.

7. Арсенин В.я. Методы математической физики и специальные функции. М.: Наука, 1984, 383 с.

8. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981, 512 с.

9. Математическая энциклопедия. М.: Советская энциклопедия, т.1., 1977, 1152 с.

10. Математическая энциклопедия. М.: Советская энциклопедия, т.2., 1984, 1216 с.

1 ^Q (Ф + i Ф') = ^Q3/2 Ф

2t (k (Kt)^3/2

В результате получаем нелинейное о.д.у. второго порядка

Ф'' + Ф' + 1ф = 0 (1.7)

Соответствующие граничные условия относительно функции Ф легко получаются из граничных условий (??) для п(х^), а дополнительное условие типа интеграла сохранения - из условия

1. п(±ю^) = 0 ^ Ф(£ = ±го) = 0

2

0