Глава 7 177

^2(ui ^{- u}2⁾q% = \13^^(ui ^{- u}2⁾q^2(ui ^{- u}2^{)(1 -} q^2)(ui ^{- и}3^{) 1 -} q²S-2 187

= j^(ui ^{- u}3^{)/3a(1 -} q²⁾ (^{1 -} q²) ^(ui ^{- u}2⁾q 187

Понятие о локализации тепла и граничных режимах с обострением 200

Понятие о фракталах и фрактальной размерности. Самоподобные кривые 226

К у 266

^А Нл(М/ К \ 296

^a₁ ^{. . . a}_k ^a₁ ^{. . . a}_k

п— ^a

a^P₁ . . . a^r_k

Величины П,П₁,П₂,...,n_n-k, очевидно, безразмерны, и при переходе от одной системы единиц к другой внутри данного класса их численные значения остаются неизменными. Последнюю зависимость теперь представим в виде

П = ^f(a1,... , ^an⁾ =

= ap ... ak =

— p ¹ _r f (a1,..., ak, П^¹... a?⁺¹,..., Пп-s.af ... akⁿ) —

a ₁ . . . a ^r_k

• ^{F (a}1^, . . . ^{, a}k^{, П}1^, . . . ^{, П}п—k⁾

Как было показано, можно перейти к такой системе единиц

a₁ , . . . , a_k a₁

в произвольное число раз, а остальные сохранятся неизменными. При таком переходе, как легко видеть, в полученной зависимости меняется, и притом произвольно, только первый аргумент, а все остальные аргументы функции F остаются неизменными, так же как ее значение П. Отсюда следует, что dF/da₁ = 0. Совершенно аналогично и dF/da₂ = 0, ..., dF/dak = 0. Следовательно, данная зависимость представляется па самом деле через функцию n — к аргументов

П = Ф(П1,..., Пп—k)

f

^f(a1 ^, ... ^{, a}k ^{, a}k+1^, ... ^{, a}n⁾

Этот факт составляет содержание центрального (и,

по существу, единственного содержательного) утверждения анализа П

видимому, впервые Э. Бакингамом:

Пусть существует физическая закономерность,

выраженная в виде зависимости некоторой размерной, вообще говоря, величины от размерных же определяющих парам,ет,ров. Эта зависимости) может быть представлена в виде зависим,ост,и некоторой безразмерной величины от безразмерных комбинаций определяющих парам,ет,ров. Количество этих безразмерных комбинаций меньше общего числа определяющих параметров на число размерных определяющих параметров с независимыми размерностями.

Если физические процессы (явления) описываются в рамках одного класса С.Е.И., и при этом их описание отличается

численными значениями определяющих параметров

^а1^, . . . ^,ак^,ак+1^, . . . ^{, а}п

так, что для них соответствующие безразмерные комплексы

^ПЪ ^П2^, . . . ^{, П}п-к

совпадают, то эти процессы (явления) называются подобными. Соответственно, безразмерные комплексы П₁,П₂,..., П_п-к получили название параметры подобия. Понятие физического подобия является естественным обобщением понятия геометрического подобия.

Физическое явление называются автомодельным (самоподобным), если распределения его характеристик в различные моменты времени получаются одно из другого преобразованием подобия.

Отметим, что наиболее естественным образом автомодельность возникает при решении задач математической физики на неограниченном (бесконечном, или полу бесконечном) интервале, когда отсутствует характерный размер задачи, т.е. фиксированный собственный пространственный масштаб процесса.

0. 1 Задача о мгновенном точечном источнике в бесконечной среде

Физическая постановка задач такого рода выглядит следующим образом. В начальный момент времени t = t* в некоторой точке бесконечного пространства, обладающего соответствующими необходимыми транспортными свойствами, происходит мгновенное выделение конечного количества некоей материальной субстанции.

Необходимо определить распределение данной субстанции в пространстве в любой момент времени.

Под “загадочным” словосочетанием некая материальная субстанция подразумеваются масса, импульс или энергия. Последняя, как правило, представляет собой тепловую энергию, неразрывно связанную с температурой среды.

Например, в случае мгновенного выделения в произвольной точке бесконечной теплопроводящей среды с постоянной начальной температурой некоторого количества E тепловой энергии, в среде будет происходить распространение тепла и, соответственно, связанное с этим процессом изменение температуры.

Аналогично, мгновенное выделение в малом (точечном) объеме гидропроводящей пористой среды с постоянной начальной

M

распространению (“растеканию”) этой массы воды в пространстве и к соответствующему изменению водонасыгценности среды.

По традиции для единообразия будем рассматривать процессы энерговыделения, делая, где это необходимо, оговорки, указывающие на параллель с рассмотрением процесса массовыделения. Первое из указанных явлений представляет собой распространение тепла и описывается уравнением теплопроводности, которое есть уравнение в частных производных второго порядка параболического типа (на сегодня эти понятия по существу стали синонимами). Второе — фильтрационное течение жидкости в пористой среде, описываемое уравнением пьезопроводности, которое в математическом смысле тождественно уравнению теплопроводности.

Итак, пусть для определенности рассматривается задача

о действии мгновенного точечного теплового источника в бесконечной среде. Начальный момент времени (момент энерговыделения и начала отсчета времени в задаче) t* положим равным нулю. Начальную постоянную температуру среды Т₀ также можно считать равной нулю, так как нас в дальнейшем будет интересовать превышение текущей температуры Т над фоном: Т — Т₀ = АТ = и.

Распределение величины и в пространстве и времени описывается в данном случае уравнением теплопроводности с учетом сферической симметрии процесса

В.В. Кадет Прикладные задачи математической физики. 1

В.В. Кадет Прикладные задачи математической физики. 2

Оглавление 4

Предисловие 9

Введение. Анализ размерностей и подобие 12

[и] — [ДТ] — [Q] • L^-3 32

Задача о мгновенном точечном источнике на конечном линейном отрезке 42

= t^—3/2 1 + 3t° + O 65

Q и = 67

Задача о мгновенном источнике в нелинейной среде 85

дм 90

к 90

d² к₁ d² d² 90

Разрешение парадокса. Численный эксперимент. Предельное автомодельное решение 95

Полная и неполная автомодельность. Автомодельные решения первого и второго рода 115

Решения типа бегущих волн. Их связь с автомодельными решениями 126

Сильные фильтрационные и тепловые волны 144