Глава 11 Турбулентный поток с поперечным сдвигом

Для исследования второго предельного случая — турбулентного течения при больших числах Рейнольдса (Re = 1500) — воспользуемся методом анализа размерностей. Какие параметры будут наиболее существенно влиять на формирование структуры направленного турбулентного потока вдоль поверхности? Если жидкость является ньютоновской, то есть для нее справедлив линейный закон трения

,

то это, прежде всего, вязкость , возникающие касательные напряжения , а также плотность , толщина пленки h, расстояние от данной точки жидкости внутри пленки до твердой поверхности y.

Известно, что при турбулентном режиме течения частицы жидкости совершают сложное хаотическое движение, и их скорости (так называемые скорости пульсаций) постоянно меняются как по величине, так и по направлению. Однако усредненная скорость пульсаций представляет собой среднюю макроскопическую скорость направленного потока. При этом нас здесь будет интересовать именно скорость движения вдоль поверхности х, которую обозначим через u,

.

Кроме того, некоторые экспериментальные исследования позволяют сделать предположение о том, что

.

Область, в которой это предположение справедливо, называют пристеночной областью (на рис. 11.1 ее граница показана пунктирной линией).

Рис. 11.1: Схематичное представление профиля направленной скорости (у) с выделенной пристеночной областью

Закон течения ньютоновской жидкости в любой точке пристеночной области будет определяться при этом следующими пятью величинами h, y:

, h, y).

Анализ размерностей определяющих параметров зависимости (11.1) показывает, что только для трех из пяти ( ) они являются независимыми. Следовательно, при переходе к безразмерным переменным вместо соотношения (11.1) будем иметь

П = Ф(П₁, П2)

Введем в рассмотрение комбинацию параметров, получившую название динамической скорости:

В результате определяемый параметр (градиент скорости естественно обезразмерить отношением , то есть положить П= , а в качестве определяющих безразмерных параметров взять

П1 = — локальное число Рейнольдса

П₂ = — глобальное число Рейнольдса

Оценим последние для наиболее реальных “пленочных” y и h, взяв в качестве скорости характерную величину, определяемую формулой (10.17) –

~0,1 м/с, и принимая для воды = 10^—6м²/с. В результате получим

y ~ 10 Re₁ ~ 10

y ~ 10 Re₁ ~ 10

h ~ 10 Re₂ ~ 10

откуда можно заключить, что вне тонкого слоя , непосредственно прилегающего к стенке,

.

В соответствии с алгоритмом, представленным в главе 5, вначале предположим в задаче полную автомодельность, т.е. независимость безразмерного градиента от обоих чисел Рейнольдса: и ,

П Ф æ

где константа æ получила название “константа Кармана”.

В рамках справедливости данного предположения сразу получаем логарифмический закон распределения скоростей в пристеночной области, который также иногда называют универсальным (не зависящим от и ) логарифмическим законом распределения скоростей

,

то есть в турбулентном потоке при удалении от стенки скорость движения жидкости вдоль нее нарастает не по квадратичному, как при ламинарном режиме (см. (10.15)), а по логарифмическому закону (рис. 11.2)

.

Традиционно соотношение (11.2) представляют в виде

или, после подстановки численных значений экспериментально устанавливаемых констант æ и C,

,

откуда видно, что, в соответствии с логарифмическим законом, скорость u обращается в ноль не непосредственно на стенке (при y = 0), а при некотором конечном значении (рис. 11.2),

æ

К у

Я

>

X

Рис. 11.2: Профиль скорости направленного движения жидкости при турбулентном режиме течения, соответствующий “универсальному” логарифмическому закону

Поскольку опытные данные показывают, что “константа” Кармана в зависимости (11.2) на самом деле является функцией глобального числа Рейнольдса: , от предположения о полной автомодельности данной задачи (т.е. автомодельности по обеим безразмерным переменным) приходится отказаться. Однако, в соответствии с указанным алгоритмом, рассмотрим вторую принципиальную возможность - предположим неполную автомодельность задачи. А именно – отсутствие автомодельности по параметру , но в то же время автомодельность, хоть и неполную (автомодельность второго рода), по параметру . Это означает, что при

П = П .

и неполную (автомодельность второго рода), по параметру 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000В этом случае

;

;

;

,

где константа определяется экспериментально (причем оказывается, что const = 0).

Другими словами, в предположении неполной автомодельности имеем степенной закон изменения средней скорости потока от глубины

однако, как показали опыты Никурадзе, при турбулентном течении показатель λ существенно отличается от такового при ламинарном, где λ ~ 2 (см.формулу (10.15)). Эти опыты позволили установить, что при изменении глобального числа Рейнольдса в диапазоне

показатель λ меняется, соответственно, в пределах