2. Конвективная диффузия в тонкой движущейся пленке

Рассмотрим теперь собственно процесс растворения газа в пленке жидкости, стекающей по твердой поверхности. В общем случае конвективная диффузия описывается уравнением

dc

+ (v, v)c = DAc (10.18)

где c — концентрация растворенного вещества, v — скорость движения среды, D — коэффициент диффузии.

Учитывая геометрию рассматриваемой задачи (рис. ??), в данном случае, аналогично понятию “вязкого подслоя” или “пограничного слоя”, можно ввести понятие “диффузионного слоя” как слоя жидкости у поверхности жидкой пленки толщиной 6 (рис. ??), где происходит основное изменение концентрации растворяющегося газа.

Заранее можно продположить, что изменение концентрации вглубь пленки, т.е. поперек слоя жидкости (вдоль осиОУ), будет намного

более резким, чем вдоль оси OX.

В этом случае для производных легко получить оценку

d²c d²c

поскольку

l2 б2

так как б/l ^ 1, более того — б/h ^ 1. Здесь для удобства введена новая система координат XOY', в которой “поперечная” ось OY' направлена

OX

направление, а начало координат расположено на поверхности пленки У = ^у

Вектор скорости имеет вид v = (v_x, 0, 0), где компонента

^vx

процесса (d/dt = 0), перепишем (??) в виде

(10.19)

Граничные условия будут при этом следующие

(10.20)

^c(y = ^h) = ^c(y' = ⁰⁾ = ^co c(y = 0) = c(y' ^ to) ^ 0

Условия (??) отражают тот факт, что рассматривается

начальная стадия диффузионного процесса, когда дальняя граница области у' = h еще не сказывается, и область определения задачи можно считать полубесконечной. При этом решение выражается через интеграл ошибок как = [1 — erf (*)], и его поведение представлено на рис. ??, откуда видно, что на этом этапе растворенный газ практически не распространяется до твердой поверхности, а весь сосредоточен в

диффузионном слое толщиной 6 такой, что 6/h ^ 1, вблизи у = h. Учитывая это обстоятельство также в уравнении (??), окончательно

c

дс/дх = 2 j д²с/ду'²

^с(у' = ⁰⁾ = ^со

с(у' ^ то) = 0

Данная задача есть классическая задача теплопроводности tx

известно

у/3<v>y^/2/(8Dx)

2c0

^с(х,у'⁾ =

e^—z dz

п

Теперь можно рассчитать плотность диффузионного потока, проходящего через поверхность внутрь пленки

D 2^co g —\/3<v>y^/2/8Dx /3<v> л/п V 8Dx

j = ^D ' у/=о

D 2co /3<v>

y/=0

3 D <v> _c 2 п x ^со

= D 2co

V 8Dx

y/=0

и, соответственно, полный поток газа через поверхность пленки ширинои B и дайной L

6 < v > DL

J =

=c0B

=c0B

2

п

п

6

j = D^ = D A = d|

ду 6 6

2пDx < v > 3

6 = D^CГ = ^j

(10.21)

\

Используя (??), проверим справедливость предположения

6

условия

3 PrReh

где, напомним, Re = U₀1/v есть число Рейнольдса, a Pr = v/D — число Прандтля.

Ламинарный характер течения жидкости в пленке, как уже отмечалось, сохраняется до Re = 30. Для оценки величины числа

v 10^{-6 2}/c

и коэффициента молекулярной диффузии газа в воде D ~ 10^-9M²/c при нормальных условиях, тогда получаем Pr ~ 10^-3. Следовательно, для выполнения соотношения (??) необходимо, чтобы

x < 10³ h

x/h 10⁴, то есть на расстоянии от начала движения вдоль оси OX 10⁴h, диффузионный слой распространяется на всю толщину пленки, а до этого времени условие (??) оказывается

^{2П 1 1 x} < 1 (10.22)

h

₁₀-3

предположение о существовании диффузионного слоя хорошо работает при L ~ 1м, что соответствует габаритам реальных технологических установок.

6

h ~\

2nDx 3 < v > h² \

2n D v x 3 v < v > hh \