Глава 10

Растворение газа в пленке текущей жидкости (модель скрубберного процесса)

1. Гидродинамика тонкой пленки на поверхности

(P = const)

вполне характеризуется четырьмя скалярными параметрами (v,p), где

• _ вектор скорости частиц флюида, &р давление в данной точке.

Для определения этих величин имеем уравнение неразрывности (сохранения массы)

1. ^ dvx dvy

div v = — + —^ + — = 0 (10.1

dx dy dz

и три уравнения движения, которые могут быть объединишь в одно векторное уравнение Навье-Стокса

dv ^ -*

P ~dt = ^{- V} Р + ^М + ^f

где д — динамическая вязкость, f — вектор плотности массовых сил. Это уравнение традиционно, с учетом представления субстанциальной

Рис. 10.1: Геометрия области течения жидкости в пленке

производном

d д _Л It = at^{+ (v}'^v)

записывают в виде

dv 1 и _л _ f

■777+ (v, v)v = — v p +-Av + - (10.2

at p p p

Проведем анализ уравнений (??), (??) на предмет их упрощения, учитывая характерные особенности рассматриваемого процесса.

Геометрия движения пленки (области течения жидкости) представлена на рис. ??, где введена соответствующая система координат.

Тогда, учитывая, что d/dz = 0, запишем (??) и (??) в

компонентах

dv_x/dx + dv_y/ду = 0 (10.3)

dvx/dt + vx(dvx/dx) + Vy(д^/ду) = ^

= — (1/р)(др/дх) + v (д² Vx/dx² + d²v_x/dy²) + fx/p

^dvy^/dt + ^vx^(dvy^/dx) + ^vy ^(dvy^/дУ⁾ =

-(1/р)(др/ду) + v (d²Vy/dx² + д\/ду²) + f /p

—

Будем считать движение квазиодномерным, то есть v_x ^ v_y. При этом изменения вдоль оси ОХ происходят намного более медленно (на характерном расстоянии /), чем в поперечном направлении — вдоль оси OY, где характерное расстояние h ^ I. Поэтому

д д д² д² ■^г < тг-; <

дх ду’ дх² ду² Пусть на внешней границе пограничного слоя v_x ~ и_о. Из (??) имеем дг>_х/дх ~ д^_у/ду или (по порядку величины) v_x/1 ~ v_y/h. Проводя далее сравнение слагаемых в (??) и (??) по порядку величины

^ио , _Ц ^ио , ^h_rr ^ио ^ ^1Ap , ^о , ^ио^\ , ^fx

- + ^ = ^— p-у + ^v ^

hUn hU h hU()^ 1 Ap /hЦ hU\ fy

TV + ^Цо IT + 7^U° IT = ^— pT + Чт72 + yhv + 7

и пренебрегая слагаемыми более высокого порядка малости (содержащих множитель h/l ^ 1), получаем представление системы уравнений (??), (??) в виде

д^_х^ + ^(дг^/дх) + Vy (д^х/ду) =

(10.6)

(1/р)(др/дх) + vд ²^х/ду² + f/p

(10.7)

др/ду = 0

где учтено представление вектора f в виде f = {f, 0, 0} в выбранной системе координат. (Действием массовых сил по сечению пленки в поперечном направлении (по оси OY) пренебрегаем вследствие малости ее толщины.)

Граничные условия будут представлять собой:

1. условие прилипания на твердой поверхности

V|_y=₀ = {vx, Vy, 0} = 0; v*(y = 0) = Vy (y = 0) = 0 (10.8)

2. равенство давления в жидкости на границе пленки капиллярному давлению Р_а

p(h) = P" (10.9)

3. отсутствие касательных напряжений на ее поверхности

dv

(h) = 0 (10.10)

dy

Из (??) имеем р = p(x), то есть по толщине пленки р = const. Тогда, учитывая (??), получаем, что p(x) = P_a, а (??) представляется как

dv* dv* dv* _ 1 d²v* f /_1Ai-n

a" +^v' ax +^vy ay = ^- Pax" + ^vay° + p ^(10Л1)

Учтем теперь, что

P" = Pi - ^а

r

а

а кривизна линии 1/r определяется второй производной ее уравнения (в

данном случае это уравнение h = h(x) (рис. ??))

1 - d ²h r dx²

135

следовательно

_P a²h

Prr = - a-

^a " dx² Теперь, так как

dh dh dhdx dh dh ^ dh h ^ dh

^Vy dt dt + dx dt dt + ^Vx dx dt + ^Vx l dt + ^Vy

то есть

v_y = dh/dt

а из (??)

I dvx ,

^vy = ^— I ax^dy

имеем приближенное равенство, определяющее координату поверхности h(x)

^dh ~ ^d (я

dt = ^— dxJ^vxdy

^vx

dh d г dt = ^— 3x!^vx^{dy (10}-¹²⁾

136

Уравнение (??) примет при этом вид

dv* dv* (г dv* \ dv* ad³h д ²v* f /_1A1oN

~at +^v* ax' "II аУ^dyj ay = pdx³ +^v ay² + p ^(10ЛЗ)

Система (??), (??) с граничными условиями (??), (??) (условие (??) уже использовано при получении уравнения (??)) представляет собой общую постановку задачи о движении жидкости в тонкой пленке.

Необходимо отметить весьма важный и интересный экспериментальный факт — существуют три основные типа или режима течения пленок:

1. ламинарное течение с постоянной толщиной пленки, которое реализуется при числах Рейнольдса Re = (< v > h)/v < 20 ^ 30;

2. ламинарное волновое течение, когда поверхность пленки покрыта капиллярными волнами (рис. ??), существующее в диапазоне 30 ^ 50 < Re < 1500;

3. турбулентное течение, возникающее при Re = 1500 (при специфических возмущениях потока переход от ламинарного режима к турбулентному может наступить и ранее).

Ограничимся вначале анализом простейшего (первого) случая — медленного стационарного ламинарного течения пленки постоянной толщины под действием силы тяжести, когда d/dt = 0; h(x) = const; dv*/dx = 0; f = pg cos а. Уравнение (??) обращается при этом в тривиальное тождество, а (??) существенно упрощается,

преобразуясь в обыкновенное дифференциальное уравнение

v + g cos а = 0

2

д ²v_x dy²

Vx^) = *у (h — 2) (10.14)

Профиль (??) представлен на рис. ??.

Средняя скорость в поперечном сечении пленки

<■>= h с -у=h gi /: (hy—i) йу=hv (h—1 h*)=§ *

138

д²v_x gcos а ду² v

d (dvx) gi

— — = ; gi = g ^{cos а}

v

которое допускает элементарное разделение переменных

d (^d^x)=— ^ %

V «у / v

у

h

h

gi

^dvx / ,ч ^dvx / ч ^g1 / J \

ay^{(h) —} d, ^(у) = ^— 7^(h—у)

Поскольку из условия (??) dv_x/dy(h) = 0, получаем уравнение первого порядка относительно скорости жидкости в пленке

^dvx ^g1 /, \

гг- = —^{(h —} у⁾

йу v

решение которого также не представляет затруднений

dvx = ^ (h — у)йу

^(hУ ^— 2 у²⁾

^{— v}x⁽⁰⁾ = у^{1 (h}У ^— 2 у²⁾

откуда, с учетом

dv. ^h - ^h

у

v

^йу

^y

^y

о

Рис. 10.3: Профиль скоростей в текущей илеике жидкости постоянной толщины

откуда

??

и, соответственно,

(10.15)

д₁ 3 < v > v h²

можно представить в виде

»(у) = 3 (1 — 1 у)

(10.16)

Толщина пленки не должна при этом превышать

Ушш = ; Re, < 20 ^ 30

<v >

поскольку рассматривается случай ламинарного течения вязкой жидкости с постоянной толщиной пленки.

Оценка величины средней скорости для характерных значений параметров процесса д ~ 10м/c²; cos а 10^—1 ; v ~

-з„

10^{—6 2}/c; h 10^—3 м дает

(10.17)

??

< v >~ 10 ¹м/с

что вполне со!’ласуется с условием

Рис. 10.4: Новая система координат XOY , вводимая для удобства расчета процесса диффузии газа через поверхность внутрь текущей пленки жидкости