2. Самоподобные кривые

Введенное выше определение размерности самоподобия относится, строго говоря, к регулярным (искусственно построенным) фрактальным геометрическим объектам. Реальные физические объекты перколяционные кластеры, полимерные макромолекулы и их агрегаты, мономолекулярные пленки напыления, спектры частот случайных шумов и т.д. обладают статистическим сомоподобием. Оказывается,

Рис. 9.5: Схема многократного (бесконечного) воспроизведения исходной кривой путем увеличения на каждом этапе произвольного выделенного участка кривой в n раз

что данное определение размерности самоподобия с успехом может быть распространено и на такие объекты.

Понятие статистического сомоподобия состоит в том, что на каждом шаге представленной на рис. ?? схемы, при увеличении

n

близкую к исходной. Каждая из таких кривых не повторяет исходную абсолютно точно. Но усреднив все полученные в результате реализации такой схемы кривые, мы как раз получим исходную линию.

Поскольку каждый сколь угодно малый элемент этой кривой будет иметь столь же сложную структуру, что и исходная кривая

(а не будет являться отрезком прямой или дуги), то самоподобные кривые (как статистически, так и математически самоподобные) можно назвать “толстыми” линиями.

Будем измерять длину L этой кривой с пространственным

разрешением А. Очевидно, дайна ломаной La, которыю мы и будем принимать за длину кривой при каждом измерении, будет зависеть от

А

измерения длины естественно принять расстояние между крайними точками измеряемой кривой L₀, то есть А_тоаж = L₀. Таким образом, длина кривой будет являться функцией двух параметров - расстоянием между ограничивающими ее точками L₀ и выбранной единицей измерения А

L = f (L0, А)

Анализ размерностей для данной функции позволяет легко перейти к безразмерной форме этой зависимости

Стрямясь измерить длину кривой как можно точнее, мы, естественно,

А

а всегда ли это возможно? Или, другими словами, возникает вопрос о существовании

Но это означает, что мы фактически пришли к выяснению вопроса об автомодельности функции Ф(Ь₀/А).

Существование такого конечного предела указывает на полную автомодельность функции Ф, и, соответственно, конечность

измеряемой длины L, поскольку при любом Л ^ 0

L/L = const; L = Ь_о • const

Например, случай const = п/2 соответствует длине полуокружности: здесь Ь_о представляет собой диаметр, пли удвоенный радиус 2 г

L/(2r) = п/2; L = п/2 • (2r) = пг

Но возможна ситуация, когда конечного предела не существует (соответственно, длина измеряемой кривой оказывается бесконечной), но имеет место степенное асимптотическое представление

а

L/L = (!о/Л)“

Такой случай соответствует неполной автомодельности функции Ф по параметру Ь_о/Л.

Покажем, что поведение фрактальных кривых полностью ему отвечает. При этом роль показателя а будет играть величина d_s — 1, где d_s - фрактальная размерность. Действительно, по определению (??)

d_s = ln N/ ln n = ln N/1п(Ь_о/Л); ln N = d_s 1п(Ь_о/Л)

так как масштаб перехода от целой кривой к составляющим ее элементам на каждом шаге есть n = Ь_о/Л (см. рис. ??).

Следовательно, число участков, на которые оказывается

Л

N = Ld^s Л^—4

а измеряемая длина

L = Л • N = ^Л^1—4 = Ьо (Ьо/Л)^4—1

130

откуда

L/Lo = (L₀/A)“-^—1

что и доказывает неполную автомодельность функции Ф по параметру (Lo/A), поскольку при А ^ 0 значение Ф ^ то, а величина показателя (d_s — 1) (или просто d_s) зависит от геометрических свойств кривой и из анализа размерностей не определяется.

Приведенные рассуждения справедливы в случае, когда кривая не имеет возвратов и самопересечений. В противном случае и само определение фрактальной размерности должно быть модифицировано по сравнению с (??).