Глава 9

Понятие о фракталах и фрактальной размерности. Самоподобные кривые

Фрактальная геометрия играет весьма существенную роль при описании структуры порового пространства, а также возникающих в нем геометрических объектов, образованных различными флюидами в процессе течения. При этом, являясь новым направлением в неклассической математике, она еще не столь широко употребима. Поэтому остановимся более подробно на понятиях, лежащих в ее основе.

1. Размерность самоподобия

Прежде всего введем формальное определение размерности самоподобия

^ds

d_s = ln N/ ln n (9.1)

Здесь N - число объектов, подобных данному, но имеющих в n раз меньший пространственный масштаб, из которых можно составить данный объект.

Теперь - для понимания - в качестве простой иллюстрации

4х

а

8х

б

Рис. 9.1: Примеры геометрических объектов: а), с обычной евклидовой размерностью б), с фрактальной размерностью

данного определения (??) рассмотрим последовательно два примера вычисления фрактальной размерности геометрических объектов на плоскости.

Возьмем обычный квадрат. Вначале разделим его на четыре подобных ему квадрата со стороной вдвое меньшей, проведя два разреза, как показано на рис. ?? а. Очевидно, что в данном примере размерность самоподобия d_s = ln4/ ln2 = 2, и она совпадает с обычной евклидовой размерностью плоской фигуры D = 2.

Теперь проведем четыре разреза, как показано на рис. ??

б, разделив его при этом на девять частей, и затем удалим среднюю.

Далее ту же самую процедуру проделаем с каждым из оставшихся восьми частей. Причем она может быть проделана (математически) бесконечное число раз. В результате получим фигуру, для которой N = 8, a n = 3 (см. рис. ?? б). Следовательно, для нее размерность самоподобия d_s = ln8/ ln3 = 1,88... < 2 = D.

Геометрические объекты с дробной (нецелой) размерностью получили название фракталов (или фракталей — в литературе встречаются оба эти названия), а сама эта размерность — фрактальной размерности .

Рассмотрим в качестве иллюстрации несколько аналогичных примеров регулярных искусственных фракталов. Такого рода объекты, устроенные достаточно просто, получили специальное название - ковер (или универсальная кривая) Серпинского и интенсивно исследуются в качестве моделей перколяционных кластеров и других самоподобных систем. Эти фракталы представлены на рис. ??, где каждая заштрихованная область представляет собой фрактал, подобный данному, но в уменьшенном соответствующим образом масштабе. Ясно, что таким образом можно построить фрактал с любой наперед заданной фрактальной размерностью.

Между объектами, представленными на рис. ?? а - в и на рис. ?? г - з, существует принципиальное отличие: первые состоят из элементарных ячеек, соединенных вдоль всей стороны, а вторые — из ячеек, соединенных только в вершинах. С топологической точки зрения все представленные на рис. ?? объекты одинаковы - для "разрезания"любого из них на две несвязные части достаточно

исключения из начальной конфигурации счетного множества точек. Однако минимальное необходимое число исключенных точек в первом случае бесконечно, а во втором - конечно. Например, для треугольной кривой Серпинского оно равно двум, как это показано на рис. ?? г. Это минимальное число точек называется разветвленностью фрактала. Конкретное значение разветвленности несущественно, важно лишь, конечна она или бесконечна, так как некоторые свойства фракталов с конечной и бесконечной разветвленностью существенно различаются.

Структуры, которые ведут себя как фрактальные на масштабах l < R , получили название однородные фракталы. Представление о том, как выглядит такая система, можно получить,

D=2

(типа представленных на рис. ?? a-в) как кафельными плитками размером R х R. Для таких структур может быть предложен метод экспериментального определения как фрактальной размерности, так и

R

Дело в том, что на больших масштабах структура однородна, следовательно плотность ее постоянна. Но на масштабах l<R

реального физического фрактального объекта представляют собой “атомы” одинакового размера l₀ и массы m_o, можно показать, что масса M системы связано с ее размером l следующим образом

M — l^d

Действительно, n — l/l₀ — l, поскольку в данном рассмотрении мы положили l₀ = const. Тогда из (??) получаем, что

Рис. 9.3: Теоретическое поведение плотности однородного фрактала

полное чиело “атомов” в системе

N~ /^ds

или, соответственно

M = Nm0 -

Полученный результат справедлив, очевидно, для любого участка системы размером l < R. Отсюда легко установить плотность структуры на масштабе l < R

D /d₄ / /D /d₄ — D

To есть

^d=—^D

(9.2)

p = M/1^D =

откуда видно, что переход от постоянной плотности к переменной как раз и произойдет при l = R. Следовательно, если построить зависимость (??) в двойном логарифмическом масштабе (рис. ??), то из

R

Рис. 9.4: Экспериментальный график зависимости плотности фрактального объекта от масштаба измерения

излома графика, и величину d_s, которая есть евклидова размерность пространства задачи минус тангенс угла наклона убывающей части графика: d_s = D — tg а.

На рис. ?? представлен пример экспериментального определения зависимости р(1) для реального физического фрактального объекта островковой металлической пленки напыления.