Глава 8

Понятие о локализации тепла и граничных режимах с обострением

Существенная нелинейность свойств среды, в которой протекают физические процессы, а также задаваемых начальных и граничных условий (тем более одновременное влияние этих факторов) зачастую приводят к чрезвычайно интересным и неожиданным, можно даже сказать “экзотическим” физическим эффектам. Рассмотрим два из них, описываемых изучаемыми в настоящем курсе уравнениями параболического типа (“уравнениями теплопроводности”) и исследованию которых в последнее время уделяется большое внимание.

1. Локализация тепла или массы

Локализацией тепла называют явление существования в пространстве границы распространения тепловой или фильтрационной волны, за которую она никогда (даже при t ^ то) не может “выбраться”. До сих пор все рассмотренные нами волны — и линейные возмущения, и сильные волны, и бегуще волны I и II рода — при t ^ то “убегали” на

бесконечность.

В качестве примера задачи, в которой возникает указанный

эффект, рассмотрим задачу о влиянии мгновенного сосредоточенного

теплового источника в нелинейной среде со степенным коэффициентом

теплопроводности (показатель степени а > 0) и линейным характером

объемного поглощения тепла. Возьмем одномерную задачу Коши

ди ₂ д , „ди, „ ,

= и— (и ——) — Хи : t > 0 ; —то < х < то (8.1)

dt дх дх

и(х, 0) = QS(x)

Х > 0 Х = 0

имеем, очевидно, рассмотренную ранее задачу о сильной тепловой волне в среде без поглощения.

Проведем предварительный анализ уравнения (??). Для x

д +^то +^то д д_п +^то

В.В. Кадет Прикладные задачи математической физики. 1

В.В. Кадет Прикладные задачи математической физики. 2

Оглавление 4

Предисловие 9

Введение. Анализ размерностей и подобие 12

[и] — [ДТ] — [Q] • L^-3 32

Задача о мгновенном точечном источнике на конечном линейном отрезке 42

= t^—3/2 1 + 3t° + O 65

Q и = 67

Задача о мгновенном источнике в нелинейной среде 85

дм 90

к 90

d² к₁ d² d² 90

Разрешение парадокса. Численный эксперимент. Предельное автомодельное решение 95

Полная и неполная автомодельность. Автомодельные решения первого и второго рода 115

Решения типа бегущих волн. Их связь с автомодельными решениями 126

Сильные фильтрационные и тепловые волны 144

Глава 7 177

^2(ui ^{- u}2⁾q% = \13^^(ui ^{- u}2⁾q^2(ui ^{- u}2^{)(1 -} q^2)(ui ^{- и}3^{) 1 -} q²S-2 187

= j^(ui ^{- u}3^{)/3a(1 -} q²⁾ (^{1 -} q²) ^(ui ^{- u}2⁾q 187

Понятие о локализации тепла и граничных режимах с обострением 200

Понятие о фракталах и фрактальной размерности. Самоподобные кривые 226

К у 266

^А Нл(М/ К \ 296

Далее учтем, что J(t) - интегральная внутренняя энергия процесса, а первый член в правой части уравнения (??) обращается в ноль вследствие того, что на концах бесконечного интервала (т.е. при х ^ —то,х ^ то производная ди/дх = 0, а сама функция ограничена.

В результате уравнение (??) приобретает вид

д

—^{J (t)} = ^{—XJ (t)}

или

= —Xdt ; d ln J(t) = —Xdt

dJ (t)

J(t)

Интегрирование последнего в промежутке [0,t] дает ln [J(t)/J(0)] = —At ^ J(t) = J(0)e^—At Определяя значение параметра J(t) в начальный момент

времени

+те + ^

J(0) = J u(x, 0)dx = J Q^(x)dx = Q

—те —те

получаем окончательное выражение, описывающее поведение интегральной внутренней энергии

J (t) = Qe^—At

которое показывает, что за счет объемного поглощения энергии в среде она со временем экспоненциально убывает (при A = 0 величипа J(t) = Q = const).

Данный результат, во-первых, сразу ставит под сомнение возможность распространения возмущения от мгновенного источника на бесконечность, а, во-вторых, подсказывает способ отыскания решения исходного уравнения (??). Будем искать его в виде

u(x, t) = v(x, t)e^—At

подстановка которого в (??) дает

v_t • e^—At — Ave^—At = a²e^—At(v^CTe^—Aatv_x)_x — Ave^—At

или, после преобразований, включающих взаимное сокращение одинаковых членов (подчеренуты) в обеих частях уравнения, сокращения на общий ненулевой множитель e^—At и вынесения за знак прозводной по x функции e^—Aat

e^Aatv_t = a² (v^a Vx)x (8.3)

115

Последнее уравнение весьма близко по своей структуре

к уже известному нам уравнению, описывающему сильные волны , — отличие состоит в дополнительном множителе e^Aat при производной по времени. Для того, чтобы избавиться от него, произведем замену

переменной

—A<rt

1 — e

Аа

^{т (t)} =

т

конечного полуинтервала

т Е [0,1/Аа)

Переписав (??) в новых переменных с учетом того, что

—A<rt

=e

д d dr dr

dt дт dt ’ dt

получаем традиционную постановку задачи о сильной волне v_T = a²((v^a vx)x)

0. < т < а^ ; —то < x < то

v(x, 0) = Qa(x) решение которой (см. главу 4) есть

2

^i/c

V (т) 0

^i/o

, |x| < хо(т) , |x| > хо(т)

1

хо(т)

v(x,r) = <

где

1

(а²т)^—

^{V (т)} = ^£о ^Q2+⁰

£ =

x

2+0

2(а+2)

(Q²a²r) 2+0

l/a'I 2+0

£о = 21 (а)

2(а+2)

хо(т) = £oQ ²+⁰ (а²т)⁽²+^о)

о 2 Г(3/2 + 1/а)

-At

Искомая функция будет, очевидно, иметь вид

u = v(x, т (t))e

Рис. 8.1: Изменение размера области локализации тепла во времени

Но более интересно проанализировать поведение границы распространения теплового возмущения х₀(т) в масштабе реального t

2 2 i i х₀(т) = £₀Q2+^a2+^ •т2+^ = Ат^ =

A=const

1

a

1 — e

1

Ха

= А

1e

^Tm —

1

(Ха

2+а

—Aat\ 2+o

Ха

A_m=const

Таким образом, координата распространения теплового фронта x₀(t) описывается зависимостью

1

2_ Л_

а а 2+а I

(8.4)

о

X0(t) = А_т (1 — e ^Tm ) + ; А_т = £0Q²+^аа²+^а (Ха) ²+

график которой представлен на рис. ??.

Из (??) легко видеть, что при t ^ то x₀(t)

А_т < то (см. также рис. ??). Данный эффект представляет большой интерес, например, при разработке технологий управления термоядерной

реакцией, поскольку они требуют создания локализованных объемов высокотемпературной плазмы.

В то же время данное соотношение показывает, что при A ^ 0 т_т ^ те, и A_m ^ те, следовательно в среде без объемного поглощения тепловое возмущение распространяется неограниченно далеко.

2. Граничный режим обострения Но ...

И в этом случае (в среде без объемного поглощения) возможна локализация теплового возмущения, правда “метастабильная локализация”, когда фронт тепловой волны остается неподвижным в течение конечного промежутка времени. Такая локализация возникает при нагреве нелинейной среды без поглощения в режиме “обострения”, когда на границе рассматриваемой области за конечный промежуток времени удается повысить температуру до бесконечно cm,и.

Рассмотрим определенный таким образом граничный режим, с обострением на примере задачи в полупространстве, когда

x=0

' f = «ж(^Ю ; ⁰<t<^T;x>⁰

< u(x, 0) = A₀T^—1/" (1 — x/x₀)^2/" ; x> 0 u(0, t) = A₀ (T — t)^—1/a ; 0 < t < T (при t ^ T : u ^ те)

Здесь A₀ = const > 0, T - время разогрева, а координата x₀, также

^A0

и параметрами среды а и а.

Решение данной задачи не будет в точности представлять собой сильную волну, несмотря на соответствующую структуру уравнения, поскольку начальные и граничные условия не соответствуют ранее рассматривавшемуся случаю мгновенного точечного источника. Но в то же время его несложно получить, “подкорректировав” известное решение типа сильной тепловой волны с учетом структуры начального

и, главное, - граничного условия.

Естественно предположить, что эта задача имеет решение

вида

( А_о(Т — t)^—1/а (1 — х/х_о)^2/" ; 0 < х<х_о ;0 < t < T

u(x, t) =

( 0 ; х > х_о ;0 < t < T

(8.5)

Очевидно, что функция (??) удовлетворяет начальному и граничному условиям, а ее соответствие уравнению исходной задачи легко проверить непосредственной подстановкой

1. 2 Л х \ ^2—1 ( 1 \

^uX = ^Ао^{(т —} t) - — ¹ , , ,, а V хо/ V хо/

u"Ux = A"(T — t)^—1 (1 — — \ Ао(Т — t)^—12 (——\ (1 — — \"

1 / х \ ²⁺¹ (2 \ ( 1

х_о/ а V х_о/ V хо,

-i-¹

A"+'(T — t)^—1—1 1

хо а хо 1W. х \ - ( 2 Л ( 2 \ ( 1

(u"Ux)x = A"+'(T — t)^—(1+¹ > 1 - + ¹)! I 1 21-

хо а а хо

а хо

_1_' Л х \ ² (2\ (2 Л ( 1

хо/ \а/ \а / \хо,

= a²A"+'(T — t)^—1—1 1 — f -) ± + 1 A ;

Рис. 8.2: Пример эволюции температурного ирофиляв в режиме с обострением (показатель нелинейности а = 2)

'2 + а\ 1

1 = a²A" • 2

2 5 ^x0

а

1/2

2A" а² (а + 2)

(8.6)

x0 =

= const

а

^x0

определяемом соотношением (??), функция (??) действительно является решением рассматриваемой задачи. При этом найдено и точное значение

^x0

u(x,t) = 0 при Vt Е [0,T) и Vx > x₀

На рис. ?? показана эволюция температурного профиля в данной задаче,

а=2

Данный пример хорошо иллюстрирует понятие локализации теплового воздействия в режиме с обострением.