Глава 7 177

^2(ui ^{- u}2⁾q% = \13^^(ui ^{- u}2⁾q^2(ui ^{- u}2^{)(1 -} q^2)(ui ^{- и}3^{) 1 -} q²S-2 187

= j^(ui ^{- u}3^{)/3a(1 -} q²⁾ (^{1 -} q²) ^(ui ^{- u}2⁾q 187

Понятие о локализации тепла и граничных режимах с обострением 200

Понятие о фракталах и фрактальной размерности. Самоподобные кривые 226

К у 266

^А Нл(М/ К \ 296

⁽ du \² Vd£/

Умножим (??) на первую производную u и после очевидных преобразований приведем к виду

du

v d(u²) 1 d(u³) а d

• 2 d£ +6 d£ +2 d£

Интегрируя (??), получаем

v 2 1 3 а , ' _Л2 ^ /^1

^——^u + —^u + — ^(ue⁾ = ^C1^u + ^C2 2 6 2 ^s

откуда, выражая производную через саму функцию, имеем

3au'² = —u³ + 3vu² + 6C₁u + 6C₂ = — f (u)

или, используя теорему Виета

3au² = —(u — u₁)(u — u₂)(u — u₃) (7.6)

где u₁ > u₂ > u₃ — корпи кубического ypавпепия f (u) = 0 (рис. ??), при этом

3v = u₁ + u₂ + u₃

6C1 = u1u2 + u1u3 + u2u3 (7.7)

6C2 = —u1u2u3 Для удобства дальнейших выкладок избавимся от значения

минус в правой части (??), тогда

\

(u — и)(« — 'Uo}('« — '«3) (7.8) 3а

Рис. 7.2: График кубической параболы — правой части уравнения (??^

Здесь необходимо учесть следующее важное обстоятельство

и ² = |и | =

-и , и < 0 и' , и > 0

а с расстоянием величина возмущения (амплитуда волны в данной точке убывает, следовательно и' < 0 и (??) окончательно будет иметь вид

(7.9)

и=

\

— (ui - и)(и - и2)(и - и3) 3а

Для решения (??) сделаем замену переменной

(7.10)

и — Ui — (и i — U2)q

В результате (??) примет вид

^2(ui ^{- u}2⁾q% = \13^^(ui ^{- u}2⁾q^2(ui ^{- u}2^{)(1 -} q^2)(ui ^{- и}3^{) 1 -} q²S-2

Ul —U3

= j^(ui ^{- u}3^{)/3a(1 -} q²⁾ (^{1 -} q²) ^(ui ^{- u}2⁾q

или, после введения обозначения S² = (u_i - u₂)/(u_i - u₃)

аналогично:

2 ^dq=, ^d£ \

u1 — u3 3а

(1 — q² )(1 — S ²q²)

и разделяя переменные, получаем

dq

u1 — u3

(7.11)

d£ =

\

12а \/(1 — q²)(1 — S °q°)

Проинтегрировав (??) в окрестности u₁ в пределах от u₁(£₀) до текущего значения u(£)

q

dq

u1 — u3 12а

d£ =

\

V(1 — q²)(1 — S ²q²)

Со

имеем

u1 — u3 12а

^{(£ — £}0⁾ = sn ¹⁽q^,S)

(7.12)

\

Здесь символ sn(.) обозначает эллиптическ ий синус*

—1

функции, а не минус первую степень. Если теперь взять эллиптический синус от обеих частей (??), получим

u1 — u3 12а

^{(£ — £}0^),S

sn

=q

\

??

откуда, в соответствии с

u1 — u3 12а

u = u₁ — (u₁ — u₂) sn²

^{(£ — £}0^),S

\

Удобнее представить последнее соотношение в виде суммы. Воспользуемся для этого тождеством

sn²(.) + cn²(.) = 1

где cn(.) есть, соответственно, эллиптический косинус. Получаем окончательно

u1 — u3 12а

u = u₂ + (u₁ — u₂) cn²

^{(£ — £}0^),S

(7.13)

\

Рис. 7.3: График решения уравнения (??) — кноидальная волна (Т?'¹

Традиционно, по созвучию латинских букв, обозначающих эллиптический косинус, полученное общее решение уравнения КдФ принято называть “кноидалыюй волной”. Период (длина) такой волны А' есть 4K(S), где K(S) — полный эллиптический интеграл I рода

dq

A' = 4K (S) = 4 j

(7.14)

0 \Z(i-q²)(i-S² q²)

= 4 j

0 \/i-S² sin²1

Данная длина волны , в соответствии с полученным решением (??) (??), будет иметь место на координатной оси \J^Ul-Ц (£-£о) следовательно на стандартной оси £ - £₀ длина волны будет равна (рис. ??^

12а

А^' = 4

А=

\

и₁ - и₃

и₁ - и₃

K (S)

12а

В случае u₂ ^ и₃ параметр S ^ 1 и, следовательно, А то, так как при S =1 интеграл (??) расходится

2

dt

2

л/1 — sin²t

cos t

0

0

0

² dt . /1 + sin t' = ln

cos t

Это означает, что в указанном случае существует всего одна волна уединенная волна (солитон) которая описывается

cn(z, 1) = ch ¹ z

Рис. 7.4: Графический портрет уединенной волны — еолитона

соотношением

u₁ — u₃ 12а

u — u2 — (u1 — u2) Cn

(7.15)

(£ — £0), 1

\

^u2

u

для упрощения записи положить u₂ = 0 (при этом оказывается, что и

u₃ = 0). Если теперь учесть первое из соотношений

??

при условии

u2 = u3 = 0

функций

??

то

можно представить в виде

2

(7.16)

u = u₁ ch

Графический вид данной функции представлен на рис. ??

??

Формула

наглядно показывает взаимосвязь

AA

v

скорости движения, а ширина - обратно пропорциональна корню квадратному из нее.