Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
исправлены 12,13 гл..doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.05.2025
Размер:
2.35 Mб
Скачать

Глава 7

Волны конечной амплитуды на поверхности жидкости. Нелинейная среда с дисперсией. Эксперименты Дж. С. Рассела. Уравнение Кортевега—Де-Фриза.

При возникновении волн на границе раздела жидкость - газ форма отдельного элемента волны (отдельного “бугра”) схематично может быть представлена так, как это показано на рис. ??. (Для реальной периодической волны характерно наличие как “бугров”, так и “впадин”, но в данном случае это несущественно.) В зависимости от величины (a/A) a A

разделить на длинные (a/A ^ 1, то есть a/A < 10—1) короткие (a/A — 1) и средние (a/A — 1/2 ^ 1/3).

Скорость распространения v первых определятся в основном гравитацией, поэтому v — л/gA. Во втором случае радиус кривизны поверхности оказывается сопоставим с длиной волны,

м u(x^i)

—>

'

• , 1 1

h А :

1*

1 '

1

>

X

Рис. 7.1: Схема профиля отдельного элемента периодической волны, либо уединенной волны

поэтому доминирующим фактором, определяющим развитие процесса, оказывается поверхностное натяжение и\ (v ~ \J5P ~ \Ja/(ар) ~ \Ja/(Ар)). Как всегда, промежуточный вариант (средние волны) самый сложный, поскольку на их распространение влияют оба указанных фактора.

В 1835 году английский физик Дж.С.Рассел случайно наблюдал уединенную волну в реальном канале. После этого он провел ряд экспериментов и эмпирически установил, что для таких волн

v = ^g(h + а)

где h — глубина канала (рис. ??), т.е. скорость и амплитуда связаны прямой зависимостью, хотя и нелинейной.

Общий вид системы уравнений, описывающих движение несжимаемой (р = р0 = const) невязкой = 0) жидкости в поле силы тяжести на границе раздела фаз, имеет вид

{div v = 0

, (7-1)

v, + (-(Г, V)-(T + - Vp = -g

Величина отклонения границы раздела фаз u(x,t) от первоначального невозмущенного уровня (рис. ??) связана с компонентами скорости поверхности жидкости соотношением

du ди ди dx ди ди dt дt + дх dt дt + дх

Предполагая потенциальность течения (rot^f = 0) и малость параметров £ = a/h ^ 1, £ = h/A ^ 1 (“мелкая вода”), по ним проводится разложение в рамках теории возмущений и в результате достаточно громоздких преобразований система (??) приводится к уравнению относительно возмущения и(х, t)

и + иих + аиххх = 0 (7.2)

получившему название “уравнение Корте моги де-Фризи" (КдФ). Величина а = const > 0

Легко видеть, что уравнение (??) отличается от уравнения Бюргерса видом третьего слагаемого. Если в уравнении Бюргерса третье слагаемое (- vuxx) отвечает за действие вязких сил (v = д/ро — кинематическая вязкость), то в уравнении КдФ это слагаемое (аиххх) отвечает за дисперсию. В первом случае нелинейность “уравновешивается” вязкостью, что предотвращает “градиентную катастрофу” и приводит к распространению бегущей волны с поставленным фронтом, структура которого определяется величиной коэффициента вязкости. Во втором — нелинейность будет “конкурировать” с дисперсией. Посмотрим, к чему это приведет.

Попытаемся вновь искать решение в виде бегущей волны, т.е. проведем стандартную в таком случае замену переменных £ = х - vt.

Тогда уравнение (??) преобразуется к виду

В.В. Кадет Прикладные задачи математической физики. 1

В.В. Кадет Прикладные задачи математической физики. 2

Оглавление 4

Предисловие 9

Введение. Анализ размерностей и подобие 12

[и] — [ДТ] — [Q] • L-3 32

Задача о мгновенном точечном источнике на конечном линейном отрезке 42

= t—3/2 1 + 3t° + O 65

Q и = 67

Задача о мгновенном источнике в нелинейной среде 85

дм 90

к 90

d2 к1 d2 d2 90

Разрешение парадокса. Численный эксперимент. Предельное автомодельное решение 95

Полная и неполная автомодельность. Автомодельные решения первого и второго рода 115

Решения типа бегущих волн. Их связь с автомодельными решениями 126

Сильные фильтрационные и тепловые волны 144