
- •Глава 7 177
- •5.3 Взаимосвязь решений типа бегущих волн с
- •Глава 7 177
- •Глава 7 177
- •1 Задача о мгновенном точечном источнике в бесконечной среде
- •Глава 7 177
- •Глава 1
- •Глава 7 177
- •Глава 7 177
- •Глава 2
- •Глава 3
- •Глава 4
- •Глава 5
- •5.3 Взаимосвязь решений типа бегущих волн с автомодельными решениями
- •Глава 6
- •Глава 7 177
- •Глава 7
- •Глава 7 177
- •Глава 8
- •Локализация тепла или массы
- •Глава 7 177
- •Глава 9
- •Размерность самоподобия
- •Самоподобные кривые
- •Глава 10
- •Гидродинамика тонкой пленки на поверхности
- •Конвективная диффузия в тонкой движущейся пленке
- •Глава 11 Турбулентный поток с поперечным сдвигом
- •Глава 12 Задача о расплывании бугра подземных вод
- •Глава 13
Глава 7
Волны конечной амплитуды на поверхности жидкости. Нелинейная среда с дисперсией. Эксперименты Дж. С. Рассела. Уравнение Кортевега—Де-Фриза.
При возникновении волн на границе раздела жидкость - газ форма отдельного элемента волны (отдельного “бугра”) схематично может быть представлена так, как это показано на рис. ??. (Для реальной периодической волны характерно наличие как “бугров”, так и “впадин”, но в данном случае это несущественно.) В зависимости от величины (a/A) a A
разделить на длинные (a/A ^ 1, то есть a/A < 10—1) короткие (a/A — 1) и средние (a/A — 1/2 ^ 1/3).
Скорость распространения v первых определятся в основном гравитацией, поэтому v — л/gA. Во втором случае радиус кривизны поверхности оказывается сопоставим с длиной волны,
м
u(x^i)
—>
'
—
•
,
1 1
h
А
:
1*
1
'
1
>
X
Рис.
7.1: Схема профиля
отдельного элемента периодической
волны, либо уединенной волны
поэтому доминирующим фактором, определяющим развитие процесса, оказывается поверхностное натяжение и\ (v ~ \J5P/р ~ \Ja/(ар) ~ \Ja/(Ар)). Как всегда, промежуточный вариант (средние волны) самый сложный, поскольку на их распространение влияют оба указанных фактора.
В 1835 году английский физик Дж.С.Рассел случайно наблюдал уединенную волну в реальном канале. После этого он провел ряд экспериментов и эмпирически установил, что для таких волн
v = ^g(h + а)
где h — глубина канала (рис. ??), т.е. скорость и амплитуда связаны прямой зависимостью, хотя и нелинейной.
Общий вид системы уравнений, описывающих движение несжимаемой (р = р0 = const) невязкой (ц = 0) жидкости в поле силы тяжести на границе раздела фаз, имеет вид
{div v = 0
, (7-1)
v, + (-(Г, V)-(T + - Vp = -g
Величина отклонения границы раздела фаз u(x,t) от первоначального невозмущенного уровня (рис. ??) связана с компонентами скорости поверхности жидкости соотношением
du ди ди dx ди ди dt дt + дх dt дt + дх
Предполагая потенциальность течения (rot^f = 0) и малость параметров £ = a/h ^ 1, £ = h/A ^ 1 (“мелкая вода”), по ним проводится разложение в рамках теории возмущений и в результате достаточно громоздких преобразований система (??) приводится к уравнению относительно возмущения и(х, t)
и + иих + аиххх = 0 (7.2)
получившему название “уравнение Корте моги де-Фризи" (КдФ). Величина а = const > 0
Легко видеть, что уравнение (??) отличается от уравнения Бюргерса видом третьего слагаемого. Если в уравнении Бюргерса третье слагаемое (- vuxx) отвечает за действие вязких сил (v = д/ро — кинематическая вязкость), то в уравнении КдФ это слагаемое (аиххх) отвечает за дисперсию. В первом случае нелинейность “уравновешивается” вязкостью, что предотвращает “градиентную катастрофу” и приводит к распространению бегущей волны с поставленным фронтом, структура которого определяется величиной коэффициента вязкости. Во втором — нелинейность будет “конкурировать” с дисперсией. Посмотрим, к чему это приведет.
Попытаемся вновь искать решение в виде бегущей волны, т.е. проведем стандартную в таком случае замену переменных £ = х - vt.
Тогда уравнение (??) преобразуется к виду
В.В. Кадет Прикладные задачи математической физики. 1
В.В. Кадет Прикладные задачи математической физики. 2
Оглавление 4
Предисловие 9
Введение. Анализ размерностей и подобие 12
[и] — [ДТ] — [Q] • L-3 32
Задача о мгновенном точечном источнике на конечном линейном отрезке 42
= t—3/2 1 + 3t° + O 65
Q и = 67
Задача о мгновенном источнике в нелинейной среде 85
дм 90
к 90
d2 к1 d2 d2 90
Разрешение парадокса. Численный эксперимент. Предельное автомодельное решение 95
Полная и неполная автомодельность. Автомодельные решения первого и второго рода 115
Решения типа бегущих волн. Их связь с автомодельными решениями 126
Сильные фильтрационные и тепловые волны 144