Глава 7 177

^2(ui ^{- u}2⁾q% = \13^^(ui ^{- u}2⁾q^2(ui ^{- u}2^{)(1 -} q^2)(ui ^{- и}3^{) 1 -} q²S-2 187

= j^(ui ^{- u}3^{)/3a(1 -} q²⁾ (^{1 -} q²) ^(ui ^{- u}2⁾q 187

Понятие о локализации тепла и граничных режимах с обострением 200

Понятие о фракталах и фрактальной размерности. Самоподобные кривые 226

К у 266

^А Нл(М/ К \ 296

r*

Из начального условия следует, что

ж

„2 7 л I' \гл2( \—3-|^1/(3п+²⁾ж^\/'глп.,\3/(3п+2)л2.

4nc Ju(r, t)r²dr = 4nc ^ [Q²(Kt) ³] ⁿ+ Ф(£)(QⁿKt)^3/(3n+2)£²d£ 00

ж ж

4ncQзп+2 (Kt)^3,1+2 у £²Ф(£)d£ = 4ncQ J £²Ф(£)d£ = E ^

0

е

2

0

(Ф^п+1)" = [(n + 1)Ф^пФ^г]^г = (n + 1)(Ф^п)'Ф' + (n + 1)Ф^пФ'' = (n + 1)пФ^п—1(Ф^/)² + (n + 1)Ф^пФ'' - Ф^п—1(Ф^/)² + Ф^пФ"

Далее, рассмотрим структуру уравнения (??) без учета конкретного вида коэффициентов

21

аф^ф" + ЬФ^п—1(Ф^/)² + c-Ф^пФ' + d£ Ф' + еФ = 0 (6.5)

^£

Сопоставляя, например, первое, второе и третье слагаемые, либо четвертое и пятое, заключаем, что решение должно иметь степенной характер (чтобы d£Ф' = еФ и так далее). Поэтому будем искать решение в виде Ф — const — £^а (знак отражает убывание функции Ф с расстоянием £, что соответствует физической природе явления - убыванию амплитуды возмущения с удалением от источника). Тогда

ф'— — а£^а—1; Ф'' — — а(а — 1)£^а—2

• (—1)ⁿa£^na а(а — 1)£^a—2 + (—1)^n—1b£ ^a(n—1)a²£ ^2(a—1) +

+ (—1)ⁿc£^an—1(—1)a£^a—1 + (—1)da£^a + (—1)e£^a = 0

Достаточное условие разрешимости полученного уравнения £

совпадать), откуда

а = 2/n

При этом в принципе возможны два варианта представления функции Ф(£):

1. Ф = K(£o — £)^2/n;

2. ф = K (£o² — £² )^1/n

96

где коэффициент K теть K(—), т.к. ряд членов уравнения имеют коэффициенты, зависящие от n.

В первом случае имеем

о

Ф' — —K-(£0 — £ )^2/n—1 n

Ф'' — K² (² — l) (£0 — £)^2/n—2 nn

Тогда о.д.у. (??) будет иметь вид

(- + 1)-Kⁿ⁺¹4 (£₀ — £ )^4/n—2+^2(n—1)/n+

+(n + 1)Kⁿ(£0 — £ )(£0 — £ )^2+2/"^-2 + (£0 —

+¹(£0 — £ )²+^2/n—1 + £ (£0 — £ )^2/n—1 + (£0 — £ )^2/n — 0

^£

или, после некоторых упрощений

• (£0 — £)^2/n + (£0 — £)-^2/" +¹(£0 — £)¹+^2/n+

^£

+£ (£0 — £ )^2/n—1 + (£0 — £ )^2/n — 0

Ф

может удовлетворить о.д.у. (??) из-за “архитектуры” получаемых членов уравнения, так как встречаются члены и с положительными и с

£

Ф

к уравнению

-2

ф' - £(£0 — £²)

ф''- (£2 — £²)^1/n—1 + £²(£2 — £²)^1/n—2 (£0 — £ ²)(£0 — £²)^1/n—1 + (£0 — £ ²)£ ²(£о — £ ²)^1/n—2+

+£² (£2 — £²)^1/"^—1 + (£0 — £ ²)^1/n+

97 +£ ² (£2 — £ ²)^1/n—1 + (£,2 — £ ²)^1/n = 0

£

еще раз, что речь идет о качественном анализе структуры о.д.у.

• конкретный вид коэффициентов уравнения (??) не учитывается.) Следовательно, реализуется вторая форма записи

ф — (£0 - £² )^1/n

причем, поскольку

ф(£) > 0 при £ < £₀

ф(£) = 0 при £ > £₀ (так как Ф(то) = 0) окончательный вид Ф есть

ф = j ^K(£°^—£^2)1/" ; £ * £o, (6.6)

0. ⁰ ;^£ > ^£o;

при этом K(n) необходимо в дальнейшем определять непосредственной

^£o

• из условия (??). Запишем последнее условие, используя в качестве £* величину £₀, которая является границей области ненулевых значений Ф, и вводя обозначение £/£₀ = Z

(°°)£о 1 /

K ⁽ / (£0 — £²)^1/n£²d£ =

0. 1

= K£0⁺³ • / (1 — z ²)^1/nC ²dZ =

o

(6.7)

интеграл Эйлера I рода¹

3n+2

= K£o" 2B(3/2, (n + 1)/n) =

= J_

4n

^£o

£₀ = [2nKB(3/2, (n + 1)/n)]^—ш+²

Теперь перейдем к нахождению коэффициента K. Подстановка в исходное о.д.у. (??) функции, определяемой выражением ??)

Ф = к (£2 — £ ²)^1/n; Ф' = K (£0 — £²)ⁿ "¹(—2£)¹

n

£=0

(-2 - 4 - + ¹ ^ K» = ³

„2\n+1'

n+1

n+1/_tf2

K ⁿ⁺¹(£() — £“ = K"⁺¹(£₀° — £

Ф

n

1

n+1

= Kⁿ+²(—2)(£0 — £²)ⁿ — 2£K (£2 — £²)^n—1(—2£) -

n

Ф

приводит к алгебраическому уравнению

1

n+1

2Kⁿ⁺¹(£0° — £²)ⁿ + 4£°—K ⁿ⁺¹(£2 — £^n—1 — 4-^K“⁺¹(£² — £²)ⁿ

nn

2£2

— £ °)^n—1 + ^ (£2 — £ⁿ =0

K

3n + 2 n ⁰ 3n + 2

которое после преобразований приобретает вид

4

— + 1

2

3

£°(£0 — £°)^_1 —

21

£ °(£0 — £² Г - — 2 — 4

n

Kⁿ =

3— + 2

—(3— + 2)

n

—

3— + 2

откуда

—

3

Kⁿ =

2(3— + 2) 3— + 2

или

1/n

—

K=

2(— + 2/3) (3— + 2)

Таким образом, окончательный вид решения поставленной

задачи (??) в размерных переменных

^£0 ^—

Г Q2 1	1 3n+2	n	1 n
(Kt)3		2(n+1/3)(3n+2)

u=

2

r

T < Tf T > Tf

(6.8)

(QⁿKt) ³ⁿ+²

Рис. 6.1: Качественный портрет “сильной” тепловой волны

где г/ = £_о • (QⁿKt) ³ⁿ+², а в безразмерных, соответственно

£ > £о

^и/ио = [1 - ^(£/£о⁾²1 ^{n £} < ^£о

и = 0

1’де

1

3n+2

ио =

Q²

^(Kt)3

есть значение величины и в точке энерго- или массовыделения г = 0

и_о = и(0, t)

‘СИЛЫЮИ

Характерный вид полученного решения

тепловой волны” представлен на рис. ??.

Причем важно иметь в виду, что данное решение (?? описывает некую промежуточную стадию развития процесса когда фронт волны возмущения уже убежал достаточно далеко от источника, чтобы размеры и геометрические особенности последнего не могли оказывать на него какое-либо влияние, но еще не ощутил влияние границы области определения задачи. Другими словами, оно справедливо

в диапазоне изменения координаты фронта

d < г/ < R

где d - характерный размер источника, a R - размер рассматриваемой области пространства.

С учетом взаимосвязи

г/ — (QⁿKt) 3n+2

получаем соответствующее ограничение для временного интервала справедливости полученного решения

d³ⁿ+²/KQⁿ < t < R³ⁿ+²/KQⁿ

)2 \ 3n+2

Проведенные рассуждения справедливы для распространения волны по “нулевому” фону (см. начальные условия). Для учета в задаче наличия начального ненулевого фона^г, 0) = 0_О = 0 необходимо “отсечь” тот период, когда 0_О существенна, то есть сопоставима с характерным масштабом величины u: u₀ = ³”+²

0. ^<<: ((Kt)³_

откуда

Q^2/3 t

^max 3n+2

^K0o³

распространения фронта ^г/ <

а соответствующее ограничение на максимальную координату

( \ 3n+2

Ло \ ³ⁿ+² 3 +2 3n+2 .

QⁿK^+i- I = Q^ • 0— ³⁽³ⁿ+²⁾ = (Q/0o)i

\ ^K0o ³

Таким образом, в случае наличия ненулевого фона решение (??) будет

3n+2

о

справедливо при

d³ⁿ+²/KQⁿ < t < Q^2/3/k@ ³

d < г < (QM)³ Автомодельное решение представляет собой промежуточную асимптотику, если в задаче имеется два характерных масштаба X_i и Х₂, и данное автомодельное решение представляет собой асимптотическое представление решения при X/X_i ^ то, но X/X₂ ^ 0. Строго говоря, наличие двух размерных параметров d и @_о приводит к появлению еще двух безразмерных параметров

П2 = и Пз = @^о

(QⁿKt) ³ⁿ+² [Q²(Kt)^-3] ³ⁿ+²

но при П₂ ^ 1 и П₃ ^ 1 зависимостью решения от этих параметров мы пренебрегаем. Вопросу о том, насколько это справедливо, будет посвящена глава 6.

Отметим в заключение, что тепловой волне излучения (возникающей, например, в результате ядерного или термоядерного взрыва в атмосфере) соответствует n ~ 5. В случае фильтрации газа n =1. При этом

к = I —5—¹ =_! - _!

2. • 5 • 5) 17 20

_ 1 _ 1

2п—¹ 20 3

^£о =

"5 /П ^- 5 1 = — =10 5 - 1 V107

следовательно

и = ¹ I • —10⁵

(Kt)³; 20

12 \ 5

■ - (I)

2

Q² \⁵ 1

Рис. 6.2: “Сильная фильтрационная волна” при течении газа в пористой среде

T

^{Q 5 1} '1 — £²⁾ = - 11 —

(Kt) 5 10

(Kt) s 10 у (QKt)

то есть профиль “сильной фильтрационной волны”, возникающей при течении газа в пористой среде, представляет собой параболу (рис. ??). Проверим, будет ли в полученном решении иметь место предельный переход к линейному случаю при — ^ 0. При данном условии

B(3/2, ж) — 1; K — —ⁿ

откуда

1

1

^£0

KB (3/2, ⁿ+^)Jⁿ Kⁿ — nⁿ — n^0

11

— — > ж

Tf — £0

Tf = ж для Vt при — = 0

Это и означает, что предельный переход действительно

• = 0

теплопроводности (или фильтрации), волна возмущения сразу же убегает на бесконечное расстояние.