5.3 Взаимосвязь решений типа бегущих волн с автомодельными решениями

Поскольку решениям типа бегущих волн явно присущ определенный тип самоподобия — форма распространяющейся волны просто тождественна сама себе в различные моменты времени — естественно ожидать тесную связь такого рода решений с автомодельными.

Для того, чтобы показать ее строго математически, возьмем самый общий вид решения типа бегущей волны

v = V (x — X(t)) + Vo(t)

и произведем в нем замену переменных

v = ln u; V = ln U; t = ln т; V0(t) = ln и₀(т); x = ln £; X(t) = ln £₀(т)

В результате получим

lnu = ln U (ln£ — ln£₀(т)) + lnи₀(т)

" ■ £

ln — ln U

uo (т)

ln

£о(т )/J ¹⁵¹³¹

Опуская знаки логарифма, в том числе и стоящий в квадратных скобках, из (??) получаем общий вид автомодельной функциональной зависимости

^u — U ^{( £}

^u0^{(T )} \^£0^{(т )},

Таким образом показано, что решения типа бегущих волн могут быть представлены в автомодельном виде и, соответственно, интерпретироваться как полноправные автомодельные решения.

В частности, для равномерно распространяющейся бегущей

волны

Лt — c — ln£₀(т); Л lnт — c — ln £₀(т); ln (Ат^л) — ln£₀(т)

^£о^{(т) — АтЛ} (5.14)

^t + ф — ln u₀(т); д ln т + ф — ln u₀(т); ln (Вт^м) — ln u₀(т)

u₀ (т) — Вт^м (5.15)

Здесь c — — ln A и ф — — ln В. В результате из (??), (??) и (??) будем имееть

^u—Вт "^и (-Ъ)

то есть приходим к автомодельному виду решения с амплитудой, представленной в виде степенной функции.

Для стационарных бегущих волн, когда д — 0

u — U1(£/Ar^Л)

90

Отсюда легко видеть, что проведенные выше классификации автомодельных решений и решений типа стационарных бегущих волн полностью соответствуют друг другу.

A

бегущей волны) определяется только из анализа размерности (только из одних законов сохранения) то это - автомодельное решение I рода (стационарная бегущая волна I рода).

Если же он определяется из решения нелинейной задачи на собственные значения в переходной области процесса - это автомодельное решение II рода (стационарная бегущая волна II рода).

Глава 6

Сильные фильтрационные и тепловые волны

В проведенных выше исследованиях параметры проводимости среды считались постоянными величинами — в результате уравнения, описывающие соответствующие физические процессы, оказывались линейными. Важной особенностью линейных дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных параболического типа является то, что линии t = const (в том числе и t = 0) оказываются характеристиками таких уравнений. В силу этого возмущения (изменения состояния) в такой среде формально распространяются с бесконечной скоростью (этот вопрос специально обсуждался во второй главе).

Однако для целого ряда физических процессов (лучистой теплопроводности, фильтрации газов и некоторых других) коэффициенты проводимости оказываются непостоянными — они зависят

u

Посмотрим, как данное обстоятельство повлияет на получаемое решение в целом и, в частности, на характер распространения “информационной” волны.

Прежде всего выясним, как будет выглядеть уравнение, описывающее процессы указанного типа. Например, для теплопередачи излучением теплоемкость в широком диапазоне температур можно считать постоянной (c = const), а вот коэффициент теплопроводности существенно - степенным образом - будет зависеть от температуры

A = Aouⁿ (u — T)

Поток тепла, определяемый законом Фикад = — AVu, будет при этом представлять собой выражение вида

q = —uⁿVu = — V(uⁿ⁺¹)

П +1 П +1

которое при подстановке в уравнение переноса тепла

cd_t u = — div q приводит к нелинейному уравнению

cd_tu = ^A^ div [grad (uⁿ⁺¹)j — ^A^ Д (uⁿ⁺¹)

n + 1 n + 1

При n =1 это уравнение, очевидно, описывает фильтрацию газа, поскольку уравнение сохранения в случае фильтрационного течения имеет вид

d_t(pm) = — div(pW ^)

где объемная скорость фильтрации W (аналог потока тепла д) определяется законом Дарси

_k

W ^ = — Vp

м

а уравнение состояния газа (идеального) в предположении изотермичности процесса - законом Бойля-Мариотта

^po

Р = — Р ^po

В результате получаем уравнение фильтрации газаУравнение фильтрации газа

d_tp — ^ V(pVp) — — Ap² p0 2p0

Рассмотрим для определенности случай сферической симметрии, когда

Распространению в бесконечной среде возмущения от мгновенного точечного источника будет соответствовать следующая постановка математической задачи

где г* представляет собой произвольный (в том числе и сколь угодно малый) ненулевой радиус.

Определяющими параметрами задачи являются величины r,t, Q — E/chk. Следовательно

(6.2)

u — f (г, t,Q,K)

а общее число определяющих параметров и' — 4. Эти параметры имеют следующие размерности:

[0] — K⁰; [г] — L; [t] — T; [Q] — 0L³; [к] — L²T^—1Г"

откуда можно видеть, что число определяющих параметров, обладающих независимыми размерностями к — 3.

Из П-теоремы следует, что, по скольку i — n/ — k — 1, зависимость (??) может быть представлена в виде функции одной

переменной

П = Ф(П₁)

где П = u/[Q²(Kt)^—3]^1/(3n+2); П1 = r/[QⁿKt]^1/(3n+²⁾ = £. Для определения вида функции Ф представим искомую величину u как

\Гл2( i\— 3 ^1/(3n+²⁾ ж/£ \

^U = [^{Q (Kt)} ] ^Ф(£) и подставим полученное выражение в уравнение в частных производных (??)• В результате получим обыкновенное дифференциальное уравнение

В.В. Кадет Прикладные задачи математической физики. 1

В.В. Кадет Прикладные задачи математической физики. 2

Оглавление 4

Предисловие 9

Введение. Анализ размерностей и подобие 12

[и] — [ДТ] — [Q] • L^-3 32

Задача о мгновенном точечном источнике на конечном линейном отрезке 42

= t^—3/2 1 + 3t° + O 65

Q и = 67

Задача о мгновенном источнике в нелинейной среде 85

дм 90

к 90

d² к₁ d² d² 90

Разрешение парадокса. Численный эксперимент. Предельное автомодельное решение 95

Полная и неполная автомодельность. Автомодельные решения первого и второго рода 115

Решения типа бегущих волн. Их связь с автомодельными решениями 126

Сильные фильтрационные и тепловые волны 144