УДК 530.17:532.546

Российский государственный университет нефти и газа

имени И.М. Губкина Кафедра нефтегазовой и подземной гидромеханики

В.В. Кадет Прикладные задачи математической физики.

Курс лекций

Москва 2003

Российский государственный университет нефти и газа

имени И.М. Губкина Кафедра нефтегазавой и подземной гидромеханики

В.В. Кадет Прикладные задачи математической физики.

Курс лекций

Допущено У МО вузов Российской Федерации по нефтегазовому образованию в качестве учебного пособия для подготовки бакалавров и магистров по направлению 553600 „Нефтегазовое дело “ и для подготовки дипломированных специалистов по направлению 650700 „Нефтегазовое дело “

“

“

Москва 2003

Кадет В. В.

Прикладные задачи математической физики: Курс лекций - М.: РГУ нефти и газа, 2003. - 181 с.

В настоящем курсе рассмотрены методы аналитического решения основных типов гиперболических уравнений первого порядка (уравнений, описывающих распространение бегущих волн) и параболических уравнений второго порядка (уравнений теплопроводности и фильтрации). Эти уравнения широко применяются при моделировании процессов как однофазной (линейное или нелинейное уравнение упругого режима), так и двухфазной (бегущая волна скачка насыщенности) фильтрации.

Рассмотрена, также ставшая уже классической, задача о распространении волн конечной амплитуды на поверхности жидкости и ее решение в виде уедененной волны - солитона.

Представлены методы получения решений нового важного и интересного класса задач — о локализации тепла или массы и режимах с обострением, а также освещен вопрос о самоподобии фрактальных кривых. Приведены примеры решения конкретных прикладных задач: о безнапорной фильтрации флюида в пласте (растекание бугра пластовых вод), о растворении газа в пленке текущей жидкости (скрубберный процесс).

Пособие предназначено для студентов специальностей нефтегазового, геофизического и экологического профилей, а также прикладной математики. Оно будет полезно магистрантам ряда программ нефтегазового и горного направлений, аспирантам и специалистам, работающим в указанных областях.

Издание подготовлено на кафедре нефтегазовой и подземной гидромеханики РГУ нефти и газа им. И.М.Губкина.

Рецензенты:

зав. кафедрой прикладной математики МИФИ (технического университета) д.ф.-м.н., проф. Кудряшов П.А.; зав. сектором НИМ им.М.В.Келдыша РАН д.ф.-м.н., проф. Колесниченко А.В.

©В.В. Кадет

©Российский государственный университет нефти и газа им. И.М.Губкина, 2003г.

Оглавление

В.В. Кадет Прикладные задачи математической физики. 1

В.В. Кадет Прикладные задачи математической физики. 2

Оглавление 4

Предисловие 9

Введение. Анализ размерностей и подобие 12

[и] — [ДТ] — [Q] • L^-3 32

Задача о мгновенном точечном источнике на конечном линейном отрезке 42

= t^—3/2 1 + 3t° + O 65

Q и = 67

Задача о мгновенном источнике в нелинейной среде 85

дм 90

к 90

d² к₁ d² d² 90

Разрешение парадокса. Численный эксперимент. Предельное автомодельное решение 95

Полная и неполная автомодельность. Автомодельные решения первого и второго рода 115

Решения типа бегущих волн. Их связь с автомодельными решениями 126

Сильные фильтрационные и тепловые волны 144

Глава 7 177

^2(ui ^{- u}2⁾q% = \13^^(ui ^{- u}2⁾q^2(ui ^{- u}2^{)(1 -} q^2)(ui ^{- и}3^{) 1 -} q²S-2 187

= j^(ui ^{- u}3^{)/3a(1 -} q²⁾ (^{1 -} q²) ^(ui ^{- u}2⁾q 187

Понятие о локализации тепла и граничных режимах с обострением 200

Понятие о фракталах и фрактальной размерности. Самоподобные кривые 226

К у 266

^А Нл(М/ К \ 296

5.3 Взаимосвязь решений типа бегущих волн с

В.В. Кадет Прикладные задачи математической физики. 1

В.В. Кадет Прикладные задачи математической физики. 2

Оглавление 4

Предисловие 9

Введение. Анализ размерностей и подобие 12

[и] — [ДТ] — [Q] • L^-3 32

Задача о мгновенном точечном источнике на конечном линейном отрезке 42

= t^—3/2 1 + 3t° + O 65

Q и = 67

Задача о мгновенном источнике в нелинейной среде 85

дм 90

к 90

d² к₁ d² d² 90

Разрешение парадокса. Численный эксперимент. Предельное автомодельное решение 95

Полная и неполная автомодельность. Автомодельные решения первого и второго рода 115

Решения типа бегущих волн. Их связь с автомодельными решениями 126

Сильные фильтрационные и тепловые волны 144

Глава 7 177

^2(ui ^{- u}2⁾q% = \13^^(ui ^{- u}2⁾q^2(ui ^{- u}2^{)(1 -} q^2)(ui ^{- и}3^{) 1 -} q²S-2 187

= j^(ui ^{- u}3^{)/3a(1 -} q²⁾ (^{1 -} q²) ^(ui ^{- u}2⁾q 187

Понятие о локализации тепла и граничных режимах с обострением 200

Понятие о фракталах и фрактальной размерности. Самоподобные кривые 226

К у 266

^А Нл(М/ К \ 296

Предисловие

Данный курс задумывался как обзор основных задач, связанных с решением параболического уравнения второго порядка и гиперболического уравнения первого порядка, поскольку подавляющее большинство задач фильтрации приводят именно к таким уравнениям.

Чрезвычайно интересным и плодотворным методом анализа и исследования уравнений математической физики является анализ размерностей, который в XX веке получил значительное развитие прежде всего благодаря работам Л.О.Ландау, К.П.Станюковича, Я.Б.Зельдовича, Ю.П.Райзера, Г.Н.Баренблатта, а также ряда других исследователей. Поэтому изучению именно этого метода в настоящем курсе уделено большое внимание.

Наряду с этим определенное внимание хотелось бы уделить вопросам, еще не ставшим “классическими”, но представляющим значительный интерес с точки зрения теории фильтрации. Сюда можно отнести специфический класс постановок и решений уравнения теплопроводности (фильтрационного уравнения) — граничные режимы с обострением и локализацией тепла (массы).

С другой стороны микромеханический подход в исследовании течений в поровом пространстве приводит к использованию принципиально новых геометрических объектов — фракталов, имеющих свои специфические характеристики. При этом оказывается, что фрактальные кривые обладают свойством так называемой неполной автомодельности. Это еще раз подтверждает универсальность метода анализа размерностей при рассмотрении самых разнообразных задач математической физики.

Многие задачи, возникающие при исследовании геофизических и гидродинамических проблем, имеют существенно нелинейный характер. Поэтому одна из глав посвящана анализу весьма примечательной модели нелинейного волнового процесса — уравнению Кортевега — Де-Фриза.

Пособие написано по материалам лекционного курса, читаемого автором в течение ряда лет в РГУ нефти и газа им. И.М.Губкина.

Различные вопросы, освещенные в настоящем пособии, в той или иной степени могут использоваться при подготовке студентов, обучающихся по специальностям 080400 - Геофизические методы поисков и разведки месторождений полезных ископаемых, 090600 - Разработка и эксплуатация нефтяных и газовых месторождений, 070600-02 - Физические процессы нефтегазового производства, 010200 - Прикладная математика, 320700 - Охрана окружающей среды и рациональное использование природных ресурсов, по программе подготовки бакалавров и магистров по направлению 553600 „нефтегазовое дело“, 550600 „горное дело“.

Список рекомендуемой для дополнительной или самостоятельной работы литературы включает всего шесть ссылок на основные работы, которые практически полностью покрывают вошедший в лекции материал. При этом каждая из них содержит обширную подробную библиографию. При этом также содержатся ссылки на литературу, на основе которой в конце книги сделано приложение.

Автор искренне благодарит Максименко А.А., Семенова А.А., Дмитриева М.Н. за помощь в оформлении рукописи.

Введение. Анализ размерностей и подобие

Все изучаемые физические процессы характеризуются соответствующими физическими величинами. Как правило, эти величины имеют размерность. Узкое понимание размерности предполагает наличие некоторой произвольно выбранной эталонной единицы измерения данной физической величины.

Например — единица измерения длины (расстояния) представляет собой расстояние между отметками на специально изготовленном стержне, хранящемся в парижской Палате мер и весов (метр). На сегодня существует более точное, не зависящее от влияния внешних условий, определение этой эталонной единицы - 165 073 673 длин волн гамма-квантов, излучаемых при переходе электрона с уровня 2рю на уровень 5d₅ в атоме Kr⁸⁶.

Единицу измерения времени естественно связать с периодом устойчиво повторяющихся астрономических явлений, допустим, 1/86 400 частью солнечных суток на Земле (секунда). Современное определение секунды вновь связано с длиной волны излучаемых при определенных условиях гамма-квантов — разделив ее на скорость распространения гамма-квантов (скорость света), получим

ю

период колебания электромагнитного поля. За одну секунду принято 9 192 621 770 периодов таких колебаний при излучении гамма-кванта в результате перехода электрона с одного подуровня на другой в основном состоянии атома Cs¹³³.

В широком смысле размерность физической величины есть функция, определяющая, во сколько раз изменится численное значение этой величины при переходе от исходной системы единиц измерения (С.Е.И.) к другой С.Е.И. внутри данного класса С.Е.И. То есть, например, при переходе от измерения расстояния в метрах к измерению расстояния в сантиметрах все численные значения длин в задаче увеличатся в 100 раз. Класс С.Е.И. — совокупность С.Е.И., отличающихся между собой только величиной, но не физической природой входящих в них единиц измерения.

Система единиц измерения - совокупность единиц измерения, достаточная для измерения характеристик рассматриваемого класса явлений.

Например, для измерения геометрических характеристик объекта достаточно С.Е.И., состоящей из 1 размерной единицы - длины L

Для измерения характеристик кинематических явлений

L

времени Т.

Для измерения характиристик динамических явлений - состоящей из 3 единиц - расстояния L, времени Т и массы M. Для измерения характеристик теплообменных явлений - состоящей из 4

и

единиц - расстояния L, времени Т, массы M и градуса Кельвина K.

В общем случае С.Е.И. “не обязана” быть “минимальной”. В принципе, если С.Е.И. уже содержит единицы измерения расстояния L и Т

измерения скорости V, отличную от отношения L/T. При наличии двух не связанных между собой масштабов пространства или времени С.Е.И. может содержать одновременно две единицы измерения соответственно длины Li, L2 или времени Ti, Т₂. Выбор конкретной С.Е.И. определяется исключительно удобством анализа и решения рассматриваемой задачи.

Очевидно, если внутри данного класса С.Е.И. для любой С.Е.И. некая величина постоянна, то ее размерность равна единице, то есть она безразмерна.

Постановка любой задачи математической физики так или иначе предполагает в результате ее решения получение функциональной зависимости между искомой (определяемой) величиной и внешними варьируемыми (определяющими) параметрами

a = f (ai,...ak, ak+i,... a_n), 1 < к < n

где

а - определяемый параметр ;

а₁,... ,a_k, a_k+₁, ...,а_п определяющие параметры.

Смысл анализа размерностей состоит в отыскании такой постановки задачи математической физики (возможно, несколько модифицированной по сравнению с исходной), которая позволяет описывать изучаемое явление более простой (с меньшим числом переменных) и при этом более универсальной зависимостью.

Переход к такой зависимости осуществляется на базе использования П-теоремы. Но, прежде чем сформулировать эту теорему и продемонстрировать технику ее применения, отметим два весьма важных обстоятельства.

Во-первых, размерность любой физической величины всегда есть степенной одночлен. Данное утверждение следует из общефизического принципа ковариантности (совместности или пропорциональности преобразований): внутри данного класса С.Е.И. все С.Е.И. равноправны. Для его доказательства рассмотрим некоторый класс С.Е.И. A,B,... (A, B,.. .обозначают символы M, L,T и тому подобные). В силу равноправия систем внутри данного класса размерность любой величины а зависит только от величин A, B,...

[а] = Ф(А,В,...)

Если бы существовала некоторая избранная система внутри данного класса, то в число аргументов функции размерности входили бы также отношения величин основных единиц исходной системы к соответствующим единицам избранной системы. В силу принятого принципа равноправия систем единиц измерения внутри данного класса это не так. Аргументами функции размерности являются поэтому только величины A,B,..., независимо от того, какая система принята за исходную. Выберем в классе A, B,... три системы единиц: (0), (1) и (2), причем система (1) получается из системы (0) уменьшением основных единиц измерения в Ai, Bi,... раз, а система (2) получается из системы (0) уменьшением основных единиц измерения в A₁, B₁,... раз. В согласии со сказанным, при переходе от системы (0) к системе (1) численное значение рассматриваемой величины а увеличивается в Ф(А₂,В2,...) раз, при переходе от системы (0) к системе (2) - в Ф(A₂,B₂,...) раз. Отсюда следует, что численные значения величины а в системах (1) и (2) отличаются в Ф(А₁, B₁,.. .)/Ф(А₂, B₂,...) раз. Далее, в силу равноправия систем внутри данного класса результат перехода от системы (2) к системе (1) зависит только от этих систем и не зависит от того, какая система принята за нулевую. Отношения же основных единиц измерения в системах (2) и (1) составляют соответственно А₁/А₂, B₁/B₂,..., поэтому численное значение величины а должно при этом переходе увеличиться в Ф(А₁/А₂, B₁/B₂,...) раз. Итак, мы вычислили изменение численного

а

способами. Приравнивая результаты, получаем уравнение для функции Ф

Ф(А1, Bj,...) /А1 B \

Ф(А2, B2 ,...) VА2, B2, J

Это уравнение, в естественном предположении, что размерность -

гладкая функция, решается просто. Продифференцировав обе части по А₁ А₁ = А₂ = А, B₁ = B₂ = B, . . .

^{Ф (А B,}...⁾ = 1ф'(1 1 ) = ^а Ф(А, B,...) А ^{( , ,}...⁾ А

где а = const т. е. не зависит от A,B,.... Интегрируя полученное

соотношение, находим

Ф(А, B,...) = А^Ф^,...) Ф1 А

остальных переменных, получаем

Ф = [а] = А^^в ...

14

(постоянный множитель, получающийся в конце концов в правой части, равен единице, поскольку при A = В = ... = 1 система единиц измерения

a

происходит).

Отсюда следует, что, если размерность ни одной из величин рассматриваемой совокупности a₁,..., a* нельзя представить в виде произведения степеней размерностей остальных величин, то эти величины имеют независимые размерности.

Во-вторых, внутри данного класса С.Е.И. всегда можно осуществить переход от используемой С.Е.И. к другой С.Е.И. так, чтобы любая заранее выбранная величина из числа величин с независимыми размерностями изменила свое численное значение в произвольное число раз, а все остальные величины из этого числа остались неизменными.

a_i , . . . , a_k

A, B, . . .

[a₁] = A^ai B^в1...,..., [a_k ] = A^ak В^вк....

A, B, . . .

чтобы выполнялись соотношения

A^ai В^в1... = Q, A^a2 В^в2... = 1,..., A^ak В^вк... = 1.

Логарифмируя, находим, что для логарифмов переходных множителей ln A, ln В,... получается система линейных алгебраических уравнений

а₁ ln A + в₁ ln В + ... = ln Q; а₂ ln A + в₂ ln В + ... = 0;

a_k ln A + e_k ln В + ... = 0.

Эта система всегда имеет по крайней мере одно решение. Действительно, число неизвестных ln A, ln B,... в ней заведомо не меньше числа уравнений, так как в противном случае размерности величин а₁,... , а&, выражающиеся через A,B,..., были бы, очевидно, зависимыми. Если число неизвестных больше числа уравнений, то разрешимость системы очевидна. Если же число неизвестных равно числу уравнений, то однозначная разрешимость системы вытекает из того, что определитель

^ai ^i ... ^а2 ^2 ...

^ак ^вк ...

отличен от нуля, поскольку в противном случае размерности величин а₁,..., ак снова не были бы независимыми.

Пусть теперь определяющие параметры (аргументы) рассматриваемой функциональной зависимости делятся на две принципиально отличные части — аргументы а₁,..., ак имеют независимые размерности, а аргументы а_к+1,...,а, - размерности, выражаемые в виде произведений степеней размерностей определяющих параметров с независимыми размерностями

[ак+1] = [аР⁺‘ ■ ■ ■ [акР⁺‘

[а,,] = К]?* ...КГ"

а

выражаться через размерности аргументов а₁,..., а_к

[а] = [а1]^р ... [ак]^r.

16

Если бы это было не так, то размерности величин a,a₁....,ak были бы независимыми и, согласно предыдущему, можно было бы, меняя систему единиц измерения внутри данного класса,

a

a1 . . . . , ak a1 . . . . , an

a

a₁ . . . . , a_n

зависимости заведомо неполон. Таким образом, существуют такие числа р,..., г, что последняя формула действительно имеет место.

Запишем теперь соотношения

В.В. Кадет Прикладные задачи математической физики. 1

В.В. Кадет Прикладные задачи математической физики. 2

Оглавление 4

Предисловие 9

Введение. Анализ размерностей и подобие 12

[и] — [ДТ] — [Q] • L^-3 32

Задача о мгновенном точечном источнике на конечном линейном отрезке 42

= t^—3/2 1 + 3t° + O 65

Q и = 67

Задача о мгновенном источнике в нелинейной среде 85

дм 90

к 90

d² к₁ d² d² 90

Разрешение парадокса. Численный эксперимент. Предельное автомодельное решение 95

Полная и неполная автомодельность. Автомодельные решения первого и второго рода 115

Решения типа бегущих волн. Их связь с автомодельными решениями 126

Сильные фильтрационные и тепловые волны 144