4. Понятие гетероскедастичности остатков. Тест Голдфелда-Квандта.

При оценке параметров уравнения регрессии мы применяем метод наименьших квадратов (МНК). В модели у =  + ₁х + + е, случайная составляющая (е) представляет собой «необъясненную или ненаблюдаемую величину». После того, как произведено решение модели, то есть дана оценка параметрам, мы можем определить величину остатков в каждом конкретном случае как разность между фактическими и теоретическими значениями результативного признака е_i=y_i- . При использовании МНК делаются предположения относительно поведения остатков: предполагают, что 1) остатки представляют собой независимые случайные величины и их среднее значение равно нулю; 2) остатки имеют постоянную дисперсию и подчиняются закону нормального распределения.

Одной из предпосылок МНК является, чтобы дисперсия остатков была гомоскедастичной (дисперсия – показатель вариации, определяется как средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от его среднего значения). Это значит, что для каждого значения фактора остатки имеют одинаковую дисперсию. Если это условие не соблюдается, то имеет место гетероскедастичность. Наличие гомо- или гетероскедастичности можно видеть по графику зависимости остатков от теоретических значений результативного признака:

а) большая дисперсия остатков для больших значений «у» (гетероскедастичность);

б) большая дисперсия остатков для средних значений «у» (гетероскедастичность);

в) – большая дисперсия для меньших значений результата (гетероскедастичность);

г) – равная дисперсия (гомоскедастичность).

При малом объеме выборки, что характерно для эконометрических исследований с целью выявления гетероскедастичности остатков используется метод Гольдфельда –Квандта.

Последовательность:

1. Формулируются гипотезы:

Н₀: - дисперсии остатков одинаков - гомоскедастичность,

Н_А: - дисперсии различны - гетероскедастичность.

2. Выбирается уровень значимости (0,05);

3. Исходные данные сортируются по величине независимой переменной (по убыванию или по возрастанию х)

4. Совокупность делиться на три части, при этом центральную часть наблюдений учитывать не будем, при этом необходимо помнить, что (N – С)/2 должно быть больше р – число параметров в модели, где N – общее число наблюдений, С – чило наблюдений в каждой группе.

5. Далее, для каждой оставшейся группы с малыми и большими значениями факторного признака (у) определяем сумму квадратов отклонений остатков, .

6. Далее рассчитывается фактическое значение Фишера как отношение большей суммы квадратов остатков к меньшей:

7. Сравниваем полученное фактическое значение с табличным (d f = n - C – 2p/2).

- гомоскедастичность

- гетероскедастичность, причем чем больше это отношение превышает табличное, тем больше нарушена предпосылка о равенстве дисперсий остаточных величин.

5. Понятие автокореллированности остатков. Тест Дарбина-Уотсона.

Изучение взаимосвязи экономических переменных по данным временных рядов осложнено тем, что в этих рядах может быть тенденция. Если в ряду динамики переменной у и в ряду динамики х есть компонента «Т», то в результате мы получим тесную связь между у и х. Однако из этого факта еще нельзя делать вывод о том, что изменение х есть причина изменения у, то есть что между этими изменениями есть причинно-следственная связь.

Чтобы выявить причинно-следственную зависимость между переменными, необходимо устранить ложную корреляцию между ними, вызванную наличием тенденции.

Обычно остаточная компонента не содержит тенденции, однако при моделировании временных рядов иногда встречаются ситуации, когда остатки содержат тенденцию или цикличность. В этом случае остатки не являются независимыми, каждое последующее значение остатка зависит от предыдущего. Это явление получило название автокорреляция остатков. (Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда.)

Причины существования автокорреляции остатков:

1. в модель не включен фактор, оказывающий существенной воздействие на результат; его влияние будет отражаться в остатках, то есть они могут быть автокоррелированы;

2. модель не учитывает влияние нескольких второстепенных факторов, совместное влияние которых может быть существенным (если их тенденции совпадают или фазы цикличности совпадают);

3. автокорреляция остатков может заключаться в неверной функциональной спецификации модели.

Существуют два способа определения автокорреляции в остатках. Первый заключается в визуальном анализе графика зависимостей остатков от времени. Второй способ предполагает использование критерия Дарбина-Уотсона. Величину критерия (d) можно определить по одной из формул

или (проще запомнить) d 2(1 – r_e¹)

где r_e¹ – коэффициент автокорреляции остатков первого порядка.

Если в остатках существует полная положительная автокорреляция, то r_e¹=1 и d = 0.

Если в остатках полная отрицательная автокорреляция, то r_e¹=-1 и d=4.

Если автокорреляция остатков отсутствует, то r_e¹=0 и d = 2.

Алгоритм проверки гипотезы об автокорреляции остатков:

1. выдвигается нулевая гипотеза об отсутствии автокорреляции в остатках;

2. определяется фактическое значение критерия Дарбина – Уотсона (d);

3. по специальным таблицам (приложение учебника по эконометрике) находят критические значения критерия d_L и d_u , где п –число наблюдений, k- независимых переменных в модели, - уровень значимости;

4. числовой промежуток всех возможных значений d разбивается на 5 отрезков

Есть положительная автокорре-ляция остатков

Зона неопределенности

Автокорреля-ция остатков отсутствует

Зона неопределенности

Есть отрицательная автокорреляция остатков

0 d _L d _u 2 4- d _u 4 - d _L 4

5. если d - фактическое попадает в зону неопределенности, то предполагают существование автокорреляции в остатках.

В последнем случае исследовать причинно-следственные связи переменных по остаткам нельзя, получим ложную корреляцию.