Процентиль как мера измеряемого свойства

Сам по себе сырой балл по тесту не является мерой оценки измеряемого свойства. Чтобы измеряемое свойство оценить, необходимо определить место испытуемого среди других испытуемых, то есть мерой измеряемого свойства выступает местоположение балла на кривой распределения. Мерой такого местоположения является процентиль.

Процентиль (Р) – это такое значение сырого балла, левее которого на числовой оси находится заданный процент испытуемых. Индекс внизу указывает задаваемый процент процент, например, Р₂₃. Всего используется 99 процентилей, которые делят выборку испытуемых на 100 частей по 1%. Например, Р₂₃=38 означает, что балл равный 38 и меньше получили 23% испытуемых.

Зная, какому процентилю соответствует балл испытуемого, можно определить результат испытуемого в процентах по отношению к другим испытуемым.

Другой подобной мерой является процентильный ранг (PR) – процент испытуемых из выборки стандартизации, которые получили равный или более низкий балл, чем балл данного испытуемого.

Процентильные шкалы относятся к порядковым шкалам: они позволяют определить у кого из испытуемых сильнее выражено свойство, но не говорят о том, насколько и во сколько раз сильнее. Для того, чтобы строить количественный прогноз, нужно повысить уровень измерения, т.е. перейти к шкалам интервалов. Этот перевод производят либо на базе эмпирического распределения, либо на базе теоретического распределения. В роли такой теоретической модели распределения чаще всего используется модель нормального распределения.

Нормализация шкалы

Нормальность распределения может быть получена не только искусственным подбором пунктов теста, но и с помощью ряда процедур нормализации.

1. Нормализация пунктов. Данная процедура опирается на функцию плотности нормального распределения, которая имеет следующий вид.

Рис. 3. Процентное распределение случаев по нормальной кривой

На рис. 3 по горизонтальной оси отложены интервалы, соответствующие отклонению в 1, 2 и Зσ вправо и влево от среднего значения М. Поскольку кривая симметрична, 34,13°о случаев приходится также на интервал от М до -1σ, так что диапазон от -1σ до +1σ охватывает 68,26°о случаев. Почти все случаи (99,72°о) лежат в пределах ± Зσ относительно среднего значения.

Рис. 4. Ранги процентилей при нормальном распределении

Процедура нормалицации состоит в следующем. В начале для каждого пункта теста определяется процент испытуемых, правильно его выполнивших. Затем по этому проценту определяется ключ для данного пункта на σ-шкале трудности. Например, пусть среди нормативной выборки с данным заданием справились только 16% испытуемых. Данному пункту на интервальной шкале “трудности” соответствует площадь под кривой, лежащая левее σ=-1. Следовательно выбираем ключ для данного пункта равен -1. Если справились 75% испытуемых, то балл пункта на сигма-шкале равен +0,67.

В результате суммирования по пунктам баллов, скорректированных нормализацией, суммарные баллы лучше приближаются к нормальному распределению.

2. Нормализация распределения суммарных баллов (или интервальная нормализация). В этом случае по таблице интегральнойя функции нормального распределения производится переход от процентильной шкалы к сигма-шкале. На рис. 4 дается условная графическая иллюстрация интервальной нормализации.

Рис 4 График, иллюстрирующий преобразование процентильной шкалы (по оси X) в нормализованную сигма-шкалу (по оси У).

Приведем пример интервальной нормализации в табл. 1.

Пусть строка х содержит сырые очки (не нормализованные) по тесту, полученные простым подсчетом правильных ответов.

В строке f указываются частоты встречаемости сырых баллов в выборке из 62 испытуемых.

В строке F – накопленные частоты: F_i = Σ f_j,i.

В строке F* – скорректированные накопленные частоты (кумулятивные баллы):

В строке PR – процентильные ранги:

В строке σ даются нормализованные баллы, полученные из соответствующих процентильных рангов по таблицам, (σ -оценки также называются z-оценками).

Таблица 1

х	3	4	5	6	7	8	9	10
f	2	18	13	8	10	6	4	1	n=62
F	2	20	33	41	51	57	61	62
F*	1	11	26,5	37	46	54	59	61,5	Σ= 100
PR	1,6	17,7	42,7	59,7	74,2	87,1	95,2	99,2	M=0
σ	-2,1	-0,9	-0,2	0,2	0,6	1,1	1,7	2,4	σ =1

Трудность использования обычных статистических таблиц при интервальной нормализации состоит в том, что в них из-за симметричности интегральной функции нормального распределения даны ее значения лишь для РR>50. Для PR<50 соответствующие значения находятся из тех же таблиц с учетом σ = -ψ^-1·(l – PR/100). Например, для PR=35 мы находим 1 – РR/100 = 1 – 0,35 = 0,65, затем – по табл. ψ^-1=0,39 и берем эту величину с отрицательным знаком –0,39. Для облегчения ориентации приведем фрагмент таблицы соответствий PR, σ (табл. 2):

Таблица 2

PR	99	95	90	85	80	75	70	65	50	55
σ	2,33	1,64	1,28	1,04	0,84	0,68	0,52	0,39	0,25	0,13
PR	50	45	40	35	30	25	20	15	10	5	1
σ	0,0	-0,13	-0,25	-0,39	-0,52	-0,68	-0,84	-1,04	-1,28	-1,64	-2,33

Для нормализации удобно пользоваться графическим методом (нормальной бумагой, стандартной S-образной кривой и т.п.).

Переход к нормальному распределению создает очень удобные условия для количественных операций с диагностической шкалой: как со шкалой интервалов с ней можно производить операции линейного преобразования (умножение и сложение), можно описывать диагностические нормы в компактной форме (в единицах отклонений), можно применять линейный коэффициент корреляции Пирсона, критерии для проверки статистических гипотез, построенные в применении к нормальному распределению, т. е. весь аппарат традиционной “гауссовой” статистики (основанной на гауссовом нормальном распределении).