3. Моделирование спроса

1. Функция спроса:

Спрос на некоторый товар зависит от:

- цены данного товара;

- дохода потребителя;

- цен на другие продукты;

- неценовых факторов.

Р

Q

Рис. Кривая спроса

Характеристика спроса

Эластичность спроса по цене

Эластичность E – это мера отклика функции у=f(x) на относительное изменение аргумента x

.

При %, таким образом, эластичность показывает, на сколько процентов изменится спрос, если цена изменилась на 1%.

Эластичность – величина отрицательная.

Если Е по модулю больше 1, спрос эластичен.

Если Е по модулю меньше 1, спрос неэластичен.

Получим функцию спроса с постоянной эластичностью Е_с:

.

Таким образом, кривая спроса с постоянной эластичностью является гиперболой (равнобочной при Е=-1, т.е. ).

Поскольку PQ является выручкой (доходом) от продажи, то при единичной эластичности , так что объем выручки не зависит от цены.

Можно показать, что при эластичном спросе, увеличение цены приводит к падению выручки, тогда как уменьшение цены ведет к ее возрастанию.

При неэластичном спросе ситуация диаметрально противоположная – цена и выручка меняются одинаковым образом.

Кривая спроса является лишь сечением функции спроса по цене (при неизменных значениях других факторов), что, конечно, не является исчерпывающим описанием спроса. При построении функции спроса необходимо определиться не только с факторами и переменными, их представляющими, но формой их присутствия в выражении функции.

Спецификация функции полезности может быть проведена на основе теории полезности, зародившейся в середине 19-го века. Согласно первым представлениям считалось, что чем полезнее то или иное благо, тем оно ценнее в глазах покупателя и тем более высокую цену он готов предложить за это благо. Правда, измерение полезности в денежной форме наталкивается на методологическую трудность, поскольку сами деньги имеют в зависимости от их наличия разную ценность в глазах покупателя. (Аналогия: измерение расстояния с помощью резиновой линейки). Попытки ввести специальную единицу полезности –ютили- также не прижилась.

Известный парадокс «воды и бриллиантов» актуализировал понятие «предельная полезность».

Обозначим полезность некоторого набора (для определенности, из двух) товаров через . Функция полезности отражает следующие свойства потребителя.

1. Ненасыщаемость

Чем большим объемом товаров располагает покупатель, тем большую степень удовлетворения он испытывает:

если и , то .

Если функция дифференцируема, то это свойство влечет неотрицательность первых производных.

2. Потребитель предсказуемый

Пусть А, В, С – три набора товаров. Если покупатель считает, что набор А так же полезен как В, а набор В имеет ту же полезность, что и С, то наборы А и С также одинаково полезны:

3. Потребитель «дефициточувствительный»

Чем меньшим количества данного блага по сравнению с другим располагает потребитель, тем большее количество второго блага потребуется для компенсации потери единицы первого блага.

Кривые безразличия

Кривая безразличия – это геометрическое место точек одинаковой полезности (ценности) разных товаров.

Совокупность кривых безразличия образуют карту безразличия. Легко показать, что в условиях справедливости приведенных выше свойств покупателя, кривые безразличия имеют падающий характер, стремятся к нулю и не пересекаются.

Х₂

Рис. Кривые безразличия

Задача потребительского выбора

Покупателю необходимо приобрести два товара по цене р₁ и р_2. Располагаемая сумма денежных средств (бюджет) составляет I денежных единиц. Приобретая потребительские товары, покупатель стремится максимизировать ценность покупки.

Формализуем задачу. Обозначим через х₁ и х₂ объемы закупок первого и второго товаров, тогда стоимость покупки составит р₁х₁+р₂х₂ денежных единиц. Стоимость покупки не должна превысить объема имеющихся средств, следовательно, р₁х₁+р₂х₂<=I. Это, так называемое, бюджетное неравенство.

В итоге приходим к следующей оптимизационной задаче:

максимизировать

при ограничениях

Учитывая, что аргументы и параметры задачи неотрицательные, а функция полезности может только возрастать (по крайней мере, не убывать) с ростом аргументов, решение следует искать на границе области, задаваемой бюджетным неравенством, то есть при

.

Получим решение данной задачи для общего случая, когда число товаров может больше двух.

Наиболее часто встречающееся предположение относительно функции полезности, что она имеет мультипликативный вид

,

где - минимально необходимый объем i- го товара;

– параметры.

Задачу условной оптимизации:

максимизировать

при ограничениях

,

переводят в задачу безусловной оптимизации. Для этого вводят функцию Лагранжа

,

для которой ищут стационарные точки, приравнивая нулю первые производные:

Производная по  совпадает с бюджетным равенством.

Выразим из выражений первых производных x_i::

.

Умножив каждое x_i на λр_i и просуммировав по i, получим

.

Учитывая, что , из последнего соотношения получим

Подставив полученное соотношение в выражение для x_i, найдем функцию спроса на i-й товар:

.

Как правило, полагают , так что функция спроса приобретает вид:

.

Таким образом, удалось получить выражение для функции спроса, зависящей не только от цены на данный товар, но и от цен на другие товары, а также и от дохода покупателя.

В заключение, приведем пример построения кривой спроса по результатам опроса потенциальных покупателей.

Вопрос: Какую максимальную цену вы готовы заплатить за данный товар?

Опрошено 20 человек

Ответы: 40,25,30,50,35,20,50,32,15,40,20,40,45,30,50,25,35,20,35,40.

Упорядочим приведенный ряд цен по возрастанию и сведем результаты в нижеприведенную таблицу.

№ по порядку	Цена	Ni (кол-во чел)	Спрос
1	15	1	20
2	20	3	19
3	25	2	16
4	30	2	14
5	32	1	12
6	35	3	11
7	40	4	8
8	45	1	4
9	50	3	3

Колонка «Спрос» заполняется снизу вверх как накопленная сумма элементов колонки «N_i (кол-во чел)».

Если нанести получившиеся 9 точек на график с координатами «цена-спрос» и соединить точки, отрезками прямых, получим кривую спроса, которую можно сгладить по методу наименьших квадратов, выбрав подходящую спецификацию функции. Для приведенных данных функцию можно специфицировать как линейную.

с прос

2 0

15 50 цена