5. Построить картину нулей и полюсов передаточной функции , с помощью которой определить:

• область сходимости z-преобразования импульсной характеристики;

• условия устойчивости цифрового фильтра.

Нуль функции значение аргумента , при котором функция обращается в 0, т.е.

Полюс функции значение аргумента , при котором функция обращается в бесконечность, т.е.

корни уравнения

Вычислим эти корни:

Они являются полюсами системы.

корни уравнения .

Вычислим эти корни:

Они являются нулями системы.

Im

Область сходимости

z₀₁

z₀₂

Re

1

1

p₂

p₁

z₀₂

Рис. 12. Картина нулей и полюсов передаточной функции

Система является устойчивой, так как все полюсы расположены внутри единичного круга z-плоскости и область сходимости содержит единичную окружность.

Часть 3.

Нерекурсивный цифровой фильтр имеет импульсную характеристику

На вход системы подается конечная последовательность .

1. Описать процедуру вычисления Дискретного преобразования Фурье (дпф) с использованием алгоритмов быстрого преобразования Фурье (бпф): алгоритм бпф с прореживанием по времени.

Быстрым преобразованием Фурье (БПФ) называют набор алгоритмов, реализация которых приводит к существенному уменьшению вычислительной сложности ДПФ.

Исходная идея алгоритма БПФ состоит в том, что N-точечная последовательность разбивается на 2 более короткие, например на 2 (N/2)-точечных последовательности, вычисляются ДПФ для этих более коротких последовательностей и из этих ДПФ конструируется ДПФ исходной последовательности.

Существуют различные алгоритмы БПФ:

• алгоритм с прореживанием по времени;

• алгоритм с прореживанием по частоте.

В данной курсовой работе рассматривается алгоритм с прореживанием по времени.

Описание алгоритма с прореживанием по времени:

-точечная последовательность ( – количество отсчетов последовательности

разбивается на 2 (N/2)- точечные последовательности и , состоящих из четных и нечетных членов соответственно, т.е.

Таким образом, последовательности и будут иметь вид:

N-точечное ДПФ последовательности

где – дискретная комплексная экспонента – поворачивающий множитель.

В данном преобразовании использовано:

(N/2)- точечные ДПФ последовательностей и

- прямое ДПФ для

– прямое ДПФ для

Поскольку определено при , а и определены при , необходимо доопределить формулу (21) для . Это определение достаточно очевидно и может быть записано следующим образом:

В данном преобразовании использовано:

Вычисление по и можно представить в виде:

Вычисления

Подставим значения:

;

Вычислим (N/2)- точечные ДПФ последовательности по формуле:

Вычислим (N/2)- точечные ДПФ последовательности по формуле:

Вычислим по и :

На рис. 14. с помощью направленного графа представлена последовательность операций при вычислении восьмиточечного ДПФ с использованием двух четырехточечных ДПФ.

Введены обозначения:

Незачерненный кружок графа означает операцию сложения/вычитания, причем верхний выход соответствует сумме, а нижний – разности. Стрелка обозначает операцию умножения на значении множителя а, указанного над стрелкой. Входная последовательность сначала разбивается на 2 последовательности и из четных и нечетных членов , после чего рассчитываются их преобразования и . Затем в соответствии с формулой (29) получают

Рис. 13. Вычисление восьмиточечного ДПФ через 2 четырехточечных.

Выражение (25) соответствует разбиению исходного N-точечного вычисления ДПФ на два N/2-точечных вычислений.

Если N/2 – четное число, что имеет место всегда, когда N равно степени 2, то можно вычислять каждое N/2-точечное ДПФ в (25) путем разбиения сумм на два N/4-точечных ДПФ, которые затем объединяются, давая N/2-точечное ДПФ.

Каждая из последовательностей и разбивается на две последовательности, состоящие из четных и нечетных членов.

Аналогично N/2-точечные ДПФ могут быть записаны как комбинации двух N/4-точечных ДПФ.

Процесс уменьшения размера ДПФ от L до L/2, где L равно степени 2, может быть продолжен до тех пор, пока не останутся только двухточечные ДПФ.

Двухточечное ДПФ может быть рассчитано без использования умножений по формулам :

(25)

Т аким образом, восьмиточечное ДПФ в итоге сводится к алгоритму, описываемому направленным графом, представленным на рис. 15.

Рис. 14. Направленный граф вычисления восьмиточечного ДПФ, полученного последовательным прореживанием в 2 раза.

Анализ графа на рис. 15. и процедуры последовательного сокращения вдвое размеров показывает, что на каждом этапе БПФ (т.е. при каждом сокращении размеров ДПФ) необходимо выполнить N/2 комплексных умножений.

Поскольку общее количество этапов равно , то число комплексных умножений, необходимое для нахождения -точечного ДПФ, приблизительно равно .

Слово приблизительно использовано по той причине, что умножения в действительности сводятся просто к сложениям и вычитаниям комплексных чисел.

На рис. 15. первый этап БПФ содержит только сложения и вычитания комплексных чисел. Даже на втором этапе используются только сложения и вычитания комплексных чисел.

Фактически, как следует из направленного графа на рис. 15., вместо ожидаемых 12 (т.е. ) достаточно выполнить всего 2 нетривиальных умножения.

Однако для больших значений N фактическое число нетривиальных умножений хорошо аппроксимируется выражением

Выигрыш по вычислительным операциям , где количество вычислительных операций при непосредственном вычислении ДПФ,

количество вычислительных операций при непосредственном вычислении ДПФ с использованием алгоритмов БПФ.

Описанный выше алгоритм был назван алгоритмом с прореживанием по времени, поскольку на каждом этапе входная (т.е. временная) последовательность разделяется на две обрабатываемые последовательности меньшей длины, т.е. входная последовательность прореживается на каждом этапе.