Задачи для самостоятельного решения

С1. В эргодической последовательности, составленной из букв алфавита A, B, C, D, средние частоты повторения всех букв одинаковы, а связи между ними отсутствуют. Пусть половина всех букв принимается неверно, причем в результате ошибок поровну возникают все остальные буквы. Какова средняя информация в принятой букве относительно переданной буквы?

С2. Алфавит состоит из 8 согласных и 8 гласных букв. Все буквы алфавита равновероятны и взаимные связи отсутствуют. Согласные принимаются правильно всегда, гласные – в половине случаев, в другой половине случаев имеют место ошибки, в результате которых гласные заменяются другими гласными, при этом в случае ошибки каждая гласная переходит в любую другую гласную с одинаковой вероятностью. Какова в среднем информация в принятой букве относительно переданной?

С3. Источник создает последовательность из алфавита в 16 равновероятных и статически независимых букв. При передаче по каналу с шумом буквы искажаются так, что четверть всех букв принимается неправильно, причем все ошибки одинаково вероятны. Определить среднюю информацию в принятой букве относительно переданной.

С4. Сообщения источника х₁ и х₂ для передачи по каналу связи кодируются 0 и 1 соответственно. Кодовые символы равновероятны, р(0) = р(1). Шумы в канале вызывают ошибки так, что в среднем 1 символ из 100 принимается неверно, причем ошибкам одинаково подвержены как нули, так и единицы. Найти информацию, содержащуюся в среднем в одном символе на входе приемника.

С5. Для передачи по дискретному каналу показания телеизмерительного прибора кодируются 0 и 1. Вследствие действия помех на выходе канала появляются символы 0, – 1,1. Вероятности совместного появления символов на входе х_i и выходе канала у_к приведены в табл. С5.

Сколько информации содержится в среднем в принятом символе относительно переданного?

Таблица С5
xj	yk
	y1	y2	y3
x1	1/4	1/16	1/8
х2	1/8	1/36	1/4

2.3.7. На вход приемника телеметрической системы поступает импульс с вероятностью α. При наличии импульса на входе вследствие действия помех решающее устройство дает ответ «да» с вероятностью β и «нет» с вероятностью 1-β; при отсутствии импульса на входе – ответ «да» с вероятностью γ и «нет» с вероятностью 1-γ. Определить среднее количество информации о переданном сигнале по наблюдению принятого сигнала:

а) в общем виде,

б) при α=0.7, β=0.8, γ=0.4.

2.3.8. Известно, что из 100 изготовленных деталей в среднем 10 деталей имеют дефекты. Для выявления брака используется метод, дающий всегда отрицательный ответ, если деталь изготовлена с браком. Если брак отсутствует, то деталь признается годной лишь в 80% случаев. Какое количество информации о качестве детали можно получить в среднем по результату такого метода отбраковки?

2.3.9. Для некоторого пункта вероятность того, что 15 июня будет идти дождь, равна 0.5, а вероятность дождя 15 октября равна 0.8. Используемый метод прогноза погоды на 15 июня оказывается правильным в 3/5 тех случаев, когда предсказывается дождь, и в 4/5 случаев, когда предсказывается отсутствие осадков. Этот же метод прогноза погоды на 15 октября оказывается правильным в 9/10 случаев, когда предсказывается отсутствие дождя. В какой из указанных дней прогноз дает в среднем больше информации о реальной погоде?

2.3.10. По дискретному каналу связи передаются сообщения «да» и «нет», приему которых соответствует появление зеленого или красного светового сигнала. Из-за воздействия шума приему зеленого сигнала в 4 случаях из 5 соответствует передача сигнала «да» и в одном случае – сигнала «нет», приему красного сигнала в 3 случаях из 5 соответствует передача сигнала «да» и в 2 – сигнала «нет». Определить среднее количество информации о переданном сигнале, содержащееся в принятом сообщении, если прием зеленого и красного сигналов одинаково вероятен.

2.3.11. В условиях задачи 2.3.10 определить количество информации, содержащееся в сообщении, если приему красного или зеленого сигнала соответствует один и тот же процент передачи сигналов «да» или «нет».

2.3.12. По дискретному каналу с помехами передаются равновероятные и статически независимые телеграфные посылки (+) и паузы (-). В результате действия помех на выходе приемника могут регистрироваться символы 0, +, -. Условные вероятности заданы в табл. 2.3.2

Таблица 2.3.2
xj	yk
	y1	y2	y3
х1	1/32	61/64	1/64
х2	1/32	1/64	61/64

Какова в среднем взаимная информация в принятом символе относительно переданного?

2.3.13. Радиостанция противника может работать на частотах f₁ и f₂ (события х₁ и х₂) в режимах АТ и ЧТ (события у₁ и у₂). Совместные плотности вероятностей заданы в табл. 2.3.3.

Таблица 2.3.3
yk	xi
	x1	x2
y1	0.7	0.05
y2	0.1	0.15

Вычислить среднее количество информации относительно режима работы станции, если стала известна ее частота.

2.3.14. Студент может получить зачет с вероятностью 0.3, не проработав весь материал, и с вероятностью 0.9, проработав весь материал курса. Какое количество информации о подготовленности студента к зачету можно получить по данным о результатах сдачи зачета? В среднем 90% студентов готовы к сдаче зачета.

2.3.15. Имеется последовательность, состоящая из n двоичных символов Х⁽¹⁾, …,Х⁽ⁿ⁾. Возможно появление только тех реализаций, которые содержат четное число единиц, и все такие реализации равновероятны:

а) вычислить вероятность появления реализации, состоящей из одних нулей;

б) найти средние взаимные информации I(X⁽²⁾;X⁽¹⁾); I(X⁽³⁾;X⁽¹⁾;X⁽²⁾); I(X⁽ⁿ⁾;X⁽¹⁾,…,X^(n-1));

в) проверить полученные результаты при n=3.

2.3.16. Запись погоды в некотором городе дается в приводимой ниже табл. 2.3.4, числа указывают относительную частоту соответствующих событий.