8. Расширенный код Голея
Код Голея, гарантированно исправляющий ошибки с кратностью неменее трех включительно, обладает минимальным кодовым расстоянием, dmin = 2gи + 1 = 7, что, как правило, указывается в маркировке кода (23, 12, 7). Добавление к этому коду общей проверки на четность по всем позициям увеличивает на единицу как общую длину кода, так иминимальное кодовое расстояние dmin = 8. Расширенный код Голея, имеющий маркировку (24, 12, 8), состоит из 12 информационных символов и 12 проверочных, т. е. представляет собой код, обладающий скоростью 1/2 и избыточностью, также равной 1/2.
Обратим внимание на то, что плотноупакованные коды Хемминга и Голея – циклические, которые принадлежат классу двоичных линейных кодов. Общим для линейных двоичных кодов является наличие, в качестве разрешенного, нулевого кодового слова 000...00, что приводит к тому, что минимальный вес Wmin ненулевого разрешенного кодового слова равен минимальному кодовому расстоянию dmin (4.13). В общем случае вес кодовых комбинаций может принимать различные значения, и совокупность чисел кодовых комбинаций с постоянным весом NW определяют как распределение весов кода или как спектр весов кода. Распределение весов в коде Голея (23, 12, 7) следующее: N0 = N23 = 1; N7 = N16 = 253; N8 = N15 = 506; N11 = N12 = 1288,
а в расширенном коде Голея –N0 = N24 = 1; N8 = N16 = 759; N12 = 2576. (4.23)
Кодовые слова с весом 12, 8 и 16, выделенные из кода (24,12,8),
образуют КПВ максимальной мощности. К сожалению, кроме кодов Хемминга (dmin = 3, gи =1) и кода Голея(23, 12, 7) пока не найдено других совершенных, плотноупакованных
кодов, число синдромов у которых точно соответствует требуемому значению для гарантированного исправления ошибок заданной кратности.
Свойства
Совершенный код Голея исправляет 3 ошибки.
Расширенный код Голея дважды чётен (норма любого вектора делится на 4), и унимодулярен (размерность равна половине размерности пространства).
Минимальная норма ненулевого вектора расширенного кода Голея равна 8. Размерность 24 — первая, в которой дважды чётный унимодулярный код может не иметь вектора длины 4.
Группа автоморфизмов расширенного
кода Голея — группа
Матьё 
.
Наборы единиц векторов нормы 8 расширенного кода Голея образуют систему Штейнера
9. Циклические коды
Циклические коды относятся к линейным кодам. Специфические свойства данного вида кодов помогают как при кодировании/декодировании, так и при аппаратной реализации этих процессов.
Одно из определений циклического кода
Определение
Линейный код называют циклическим, если для любого кодового слова [xnx0x1...xn-1] циклическая перестановка символов [x0x1...xn-1xn] также дает кодовое слово.
Процедура построения таких кодов гораздо более управляемая. Однако, нам потребуется перейти от векторного описания кодов к полиномиальному. Последовательность символов основного алфавита (0'ки и 1'ки в простейшем случае), составляющие сообщения и кодовые слова мы будем интерпретировать как коэффициенты полиномов. Например, считая, что коэффициенты записаны в порядке возрастания степени, сообщение [1010] запишем в виде многочлена 1 + x2 . Кодирование сообщения в более "длинное" кодовое слово будет проводится умножением этого многочлена на другой, что дает в результате многочлен более высокой степени.
Циклические коды составляют большую группу наиболее широко используемых на
практике линейных, систематических кодов. Их основное свойство, давшее им название,
состоит в том, что каждый вектор, получаемый из исходного кодового вектора путем
циклической перестановки его символов, также является разрешенным кодовым вектором.
Принято описывать циклические коды (ЦК) при помощи порождающих полиномов G(Х)
степени m = n – k, где m – число проверочных символов в кодовом слове. В связи с этим ЦК относятся к разновидности полиномиальных кодов.Операции кодирования и декодирования ЦК сводятся к известным процедурам умножения и деления полиномов. Для двоичных кодов эти операции легко реализуются технически с помощью линейных переключательных схем (ЛПС), при этом получаются относительно простые схемы кодеков, в чем состоит одно из практических достоинств ЦК. Среди циклических кодов особое место занимает класс кодов, предложенных Боузоми Чоудхури и независимо от них Хоквингемом. Коды Боуза-Чоудхури-Хоквингема получили сокращенное наименование БЧХ-коды. БЧХ-коды являются обобщением кодов Хемминга на случай исправления нескольких независимых ошибок (gи> 1). Частными случаями БЧХ-кодов являются коды Файра, предназначенные для обнаружения и исправления серийных ошибок («пачек» ошибок), код Голея – код, исправляющий одиночные, двойные и тройные ошибки (dmin= 7), коды Рида–Соломона (РС-коды), у которых символами кода являются многоразрядные двоичные числа. Широкое распространение на практике получил класс линейных кодов, которые называются циклическими. Данное название происходит от основного свойства этих кодов, а именно, если некоторая кодовая комбинация принадлежит циклическому коду, то комбинация, полученная циклической перестановкой исходной комбинации (циклическим сдвигом), также принадлежит данному коду:(a1, a2, …, an) → (an, a1, a2, …, an−1)
Вторым свойством всех разрешенных комбинаций циклических кодов является их делимость без остатка на некоторый выбранный полином, называемый производящим.
Циклические коды — это целое семейство помехоустойчивых кодов, включающее в себя в качестве одной из разновидностей коды Хэмминга, но в целом обеспечивающее большую гибкость с точки зрения возможности реализации кодов с необходимой способностью обнаружения и исправления ошибок, возникающих при передаче кодовых комбинаций по каналу связи. Циклический код относится к систематическим блочным (n, k)-кодам, в которых k первых разрядов представляют собой комбинацию первичного кода, а последующие (n − k) разрядов являются проверочными.В основе построения циклических кодов лежит операция деления передаваемой кодовой комбинации на порождающий неприводимый полином степени r. Остаток от деления используется при формировании проверочных разрядов. При этом операции деления предшествует операция умножения, осуществляющая сдвиг влево k-разрядной информационной кодовой комбинации на r разрядов.