2. Вынужденное движение и собственные колебания системы. Переходный и установившийся режимы

В общем виде движение линейной САУ с постоянными параметрами описывается дифференциальным уравнением n-го порядка с постоянным коэффициентами

a_nx⁽ⁿ⁾+a_n-1x^(n-1)+…+a₁ +a₀x =b_m (t)+ …+ b₁ (t)+b₀ (t). (2.6)

Допустим, что при t=0 переменные уравнения (2.6.) имеют следующие значения

x(0)= (0) = ….=x^(n-1)(0)=x⁽ⁿ⁾(0)=0;

(0)= ; = ₀ ;……; ^(m-1)(0)= ^(m-1); ^(m)(0)= ^(m) .

При заданных начальных значениях переменных изображения отдельных слагаемых уравнения (2.6) можно записать в следующем виде:

a₀ x(t)←: a₀X(p); a₁ (t)←: a₁pX(p);

………………….

a_n x ⁽ⁿ⁾ (t)←: a_npⁿX(p);

b₀ (t)←: b₀F(p); b₁ (t)←: b₁ (pF(p) - );

b₂ (t)←: b₂( p²F(p) - p - );

……………………….. (2.7)

b_m (t)←: b_m (p^mF(p) – p ^m-1 – p ^m-2 - _…- p ^(m-2)- ^(m-1) ).

С учетом (2.7) уравнение (2.6), записанное в операторном виде, можно представить следующим образом:

X(p) Д(р)= F(p) M(p) – M_H(p) , (2.8)

где Д(р)=a_npⁿ + a_n-1p^n-1 +…+a₁p +a₀ - характеристический многочлен системы, представляющий собой изображение левой части уравнения (2.6) при нулевых начальных условиях;

M(p)=b_mp^m+b_m-1p^m-1+…+b₁p+b₀ – многочлен представляющий собой изображение правой части уравнения (2.6) при нулевых начальных условиях;

M_H(p)= (b_mp^m-1+b_m-1p^m-2+…+b₂p+b₁)+ (b_mp^m-2+b₁p³+…+b₃p+ +b₂)+…+ ^(m-2)(b_mp+b_m-1)+ ^(m-1)b_m - многочлен, учитывающий начальные значения переменной f(t) и ее производных.

На основании (2.8) изображение выходной переменной принимает вид

(2.9)

Изображения F(p) внешних типовых воздействий представляют собой правильные рациональные дроби

.

Тогда, уравнение (2.9) можно представить следующим образом:

(2.10)

Используя формулы обратного преобразования Лапласа, т.е. переходя от изображения Х(р) к оригиналу х (t ) , можно записать решение уравнения (2.6).

Рассмотрим случай, когда характеристическое уравнение Д(р)=0 и уравнение F₂(p)=0 не содержат нулевых и кратных корней.

Решение уравнения (2.6) с учетом (2.10) в этом случае можно представить в виде

, (2.11)

где p_k – корни уравнения Д(р) =0 ; p_i - корни уравнения F₂ (p) = 0;

n - порядок многочлена Д(р); r - порядок многочлена F₂(р);

Введем обозначения:

, (2.12)

. (2.13)

C учетом этого получим общее решение уравнения (2.6) в виде

х(t) = х_cc(t) + х_в (t) , (2.14)

где х(t) - полное движение системы, вызванное внешним воздействием f(t);

х_cc(t) – собственное движение системы; х_в (t) – вынужденное движение системы.

Анализ полученного решения позволяет сделать следующие выводы:

а) полное движение САУ можно условно разделить на две составляющие:

собственное движение, не зависящее от внешнего воздействия f(t), и вынужденное движение, зависящее от него;

б) если характеристическое уравнение имеет хотя бы пару комплексных корней, то собственное движение будет колебательным;

в) если характеристическое уравнение имеет хотя бы один корень с положительной вещественной частью, то амплитуда собственных колебаний будет с течением времени неограниченно увеличиваться (система неустойчивая);

г) если характеристическое уравнение имеет все корни с отрицательными вещественными частями, то собственные колебания с течением времени будут затухать, т.е. если

p_k= - δ_k ± iω_{k ,}

то при t→ ∞ х_cc(t)→ 0, а х(t)→ х_в(t) .

Таким образом, после затухания собственных колебаний полное движение системы стремится к вынужденному. Такое состояние системы называют установившемся.

Процесс перехода системы из одного установившегося состояния в другое называется переходным режимом. В переходном режиме система совершает как собственное, так и вынужденное движение. Длительность переходного режима определяется временем затухания собственных колебаний.

В общем случае начальные условия по всем переменным уравне­ния (2.6) отличны от нуля, т.е. при : , , тогда в уравнении (2.8) появляется ещё один многочлен , учитывающий начальные значения переменной и её производных, т.е. начальные условия самой системы:

, (2.15)

где

На основании (2.15) можно записать

. (2.16)

В соответствии с изображением (2.16) решение уравнения (2.6) будет иметь три составляющие:

, (2.17)

где . (2.18)

Выражение (2.18) характеризует свободное движение системы, пол­ностью определяется корнями характеристического уравнения и от внешнего воздействия не зависит.

Если характеристическое уравнение имеет все корни с отрица­тельными вещественными частями, то свободное движение системы с течением времени затухает, т.е. если , то и , и полное движение САУ стремится к вынужденному . Наступает установившийся режим. В частном случае установившемуся режиму САУ соответствует покой или равновесие.