9.5. Эквивалентное представление стационарного

случайного процесса. Формирующий фильтр

Вычисление СКО наиболее просто, если случайный входной сигнал имеет вид белого шума. При воздействии на вход замкну­той системы белого шума f(t) с единичной спектральной плотностью ошибка системы может быть определена вы­ражением

, (9.73)

где - импульсная переходная функция замкнутой системы.

Воспользовавшись теоремой Парсеваля, выражение (8.73) можно записать в виде:

, (9.74)

где изображение по Лапласу импульсной переходной функции, т.е. передаточная функция замкнутой системы.

В реальных ус­ловиях на САУ дей­ствуют сигналы, от­личные от белого шума. Поэтому для определения СКО при реальных возмущениях необходимо сформировать сигнал со спектральной плотностью, соот­ветствующей реально действующему на САУ сигналу, для чего белый шум надо предварительно пропустить через линейный формирующий фильтр.

Положим, что воздействие на входе САУ являет­ся реакцией некоторого формирующего фильтра с передаточной функцией F_ф(p), возбуждаемого бе­лым шумом единичного уровня . Тогда согласно формуле (8.70) на выходе фильтра и на входе САУ имеем

; (9.75)

откуда передаточная функций формирующего фильтра

.

Подключая фильтр в единую схему с си­стемой, получаем эквивалентную передаточную функ­цию

. (9.76)

В результате любой стационарный случайный процесс можно представить эквивалентным ему процессом на выходе формирующего фильтра при воздейст­вии на его вход белого шума. Такое представление ре­ального сигнала облегчает определение СКО, так как позволяет анализировать САУ методами для входного белого шума.

9.6. Расчет флуктуационных ошибок и ошибок

от задающих воздействий

Предположим, что на вход системы (рис.8.12) поступает помеха f(t), а полезный сигнал x(t)=0. Требуется определить флуктуационную ошибку, вызываемую отработкой системы помехи на ее входе. Спектральная плотность помехи равна . Передаточная функция системы известна.

Рис. 8.12. К определению флуктуационной ошибки

Поскольку в этом слу­чае весь сигнал на выходе системы представляет со­бой сигнал ошибки, спект­ральная плотность ошибки равна

, (9.77)

где квадрат амплитудно-частотной характеристики замкнутой системы.

Для облегчения вычисления интеграла (8.74) и при­ведения его к табличному спектральную плотность вход­ного сигнала представляем в виде

. (9.78)

Подставляя (8.78) в (8.77) и обозначая , полу­чим

. (9.79)

Обычно К₀(Р) — рациональная дробь, также может быть представлено в виде рациональной дроби.

Учитывая (8.72) и (8.74), получим выражение для среднего квадрата ошибки в виде табличного интеграла:

, (9.80)

где многочлены под интегралом

причем .

Таблицы интегралов до п = 6 приведены в литературе [9].

Если помеха действует не на входе системы, то вме­сто К₀(р) берется передаточная функция K_yf(p), соот­ветствующая месту приложения воздействия f.

Рассмотрим более общий случай, когда на систему помимо задающего воздействияx(t) действует одновременно помеха f(t)/

Суммарная ошибка

.

Спектральная плотность ошибки

(9.81)

где

и

представляют собой взаимные спектральные плотности полезного сигнала и помехи, а и — ча­стотные характеристики ошибки от полезного сигнала и помехи. При отсутствии корреляции между полезным сигналом и помехой

и формула (8.81) упрощается:

. (9.82).

Для помехи, приложенной совместно с задающим воздействием, когда и при отсутствии корреляции между ними получим

(9.83).

Средний квадрат ошибки

, (9.84)

где

(9.85)

- составляющая дисперсии ошибки, вызываемая задающим воздействием ;

(9.86)

- составляющая дисперсии ошибки, вызываемая возмуща­ющим воздействием f(t).

Среднеквадратическое значение суммарной ошибки системы

. (9.87)

Среднеквадратическую ошибку системы, определяе­мую по формуле (8.87), не следует смешивать со среднеквадратическим отклонением , которое равно положи­тельному квадратному корню из дисперсии .

Как следует из формулы (8.84) среднее значение квадрата ошибки зависит от структуры системы (вида ее передаточной функции и параметров) и от спектраль­ных плотностей входного сигнала и помехи.

Для минимизации соответствующей составляющей ошибки системы необходимо уменьшать площадь под кривой произведения спектральной плотности входного сигнала на квадрат амплитудно-частотной характери­стики.

Заменяя в выражении (8.85) передаточную функцию ошибки на передаточную функцию замкнутой системы K₀(p), получим средний квадрат выходной величины .

Если в задающем сигнале x(t) можно выделить воз­действие в виде неслучайной составляющей m_x(t), пред­ставляющей собой медленно меняющуюся функцию вре­мени, и стационарный центрированный случайный про­цесс, т. е.

,

то точность системы можно оценить средним квадратом ошибки, равным сумме квадратов динамической и слу­чайной ошибок:

или

.

Здесь — коэффициент, определяющий удельный вес ди­намической ошибки;

,

где D₀, D₁,D₂,... — коэффициенты ошибки.

Для случая, когда можно предположить, что скорость изменения задающего воздействия постоянна в течение рассматриваемого интервала времени, т. е. , а помеха - белый шум, в соответствии с (8.84) по­лучим для систем с астатизмом 1-го порядка

.

Пример. Определить средний квадрат суммарной ошибки САУ с передаточной функцией , если на входе системы действует задающее воздействие со спектральной плотностью и помеха со спектральной плотностью . Ошибка системы определяется формулой (8.84). Вторая доставляющая ошибки уже была определена.

.

Вычислим первую составляющую ошибки (от задаю­щего воздействия).

Передаточная функция ошибки

.

Представим спектральную плотность через сопряжен­ные составляющие:

.

Находим

.

Табличный интеграл

.

Окончательно получим

.

Из данного выражения следует, что для уменьшения составляющей ошибки от полезного сигнала необходимо увеличение , а для уменьшения составляющей ошибки от помех нужно уменьшать.

Основным достоинством аналитического метода яв­ляется возможность установления связи между величи­ной СКО и параметрами системы, что позволяет опреде­лять значения параметров системы, при которых СКО оказывается минимальной.