8.4. Метод припасовывания.

План.

1. Понятие кусочно-линейной системы.

2. Метод припасовывания.

3. Определение переходного процесса.

4. Определение периодического решения (автоколебаний).

Часто нелинейные системы представляются как кусочно-линейные, т. е. их динамические свойства описываются линейными дифференциальными уравнениями, разными для разных участков процесса управления. Таковыми, например, были все нелинейные системы, рассмотренные в предыдущей главе.

Метод припасовывания состоит в том, что линейные дифференциальные уравнения решаются в общем виде отдельно для каждого участка процесса, на котором они справедливы. Затем на каждом участке в полученных решениях произвольные постоянные определяются таким образом, чтобы все соседние участки правильно состыковывались друг с другом. Это делается следующим образом: по заданным начальным условиям процесса определяются произвольные постоянные в общем решении для первого участка. Значения фазовых координат в конце первого участка служат начальными условиями для вто­рого участка и т. д.

Вообще говоря, описанная схема метода припасовывания может быть применена и тогда, когда какой-либо участок описывается нелинейным дифференциальным уравнением при условии, что известно его общее решение.

Проиллюстрируем на простом примере использование метода припасовывания для определения переходного процесса и для определения периодического решения (автоколебаний). Дана система, схема которой изображе­на на рис. 3.1, а, нелинейная характеристика F(х) регу­лятора представлена на рис. 3.1, б. Уравнение объекта:

уравнение регулятора:

Общее уравнение замкнутой системы имеет вид

Определение переходного процесса. Представим себе примерно возможный качественный вид процесса

Рис. 8.6.

(рис. 3.2). Он разбивается на участки AB,BD и т. д., внутри которых в соответствии с нелинейной характеристикой функция F(x) принимает постоянные значения +с или -с. Изобразим отдельно участки АВ и BD (рис. 3.3), отсчитывая время t на каждом из них от нуля.

Рис. 8.7.

На участке АВ, согласно (3.1), уравнение системы

имеет первый интеграл в виде

а второй —

Рис. 8.8

Начальные условия: t=0, х =b, dx/dt= . По ним из (3.2) и (3.3) находим

На участке BD, согласно (3.1), имеем

Первый интеграл этого уравнения

а второй

Начальные условия для участка BD (в точке В) оп­ределяются на основании решения относительно точки В уравнения для предыдущего участка АВ. Из (3.2) находим

где С1 известно из (3.4), а величина tв определяется из уравнения (3.3) при условии хв=-b, т. е.

где С2 известно из (3.4). Отсюда определяем tв и полу­ченное значение подставляем в формулу (3.7).

Таким образом, начальные условия для участка BD имеют вид

и, согласно (3.5), (3.6), получаем

На следующем за точкой D участке снова, как и на АВ, будет решаться уравнение

при этом произвольные постоянные определятся с учетом координат конца предыдущего участка BD и т. д.

Определение периодического решения (автоколеба­нии). В этом случае расстояние AD по оси времени (рис. 3.2) является периодом автоколебаний. Вся кривая ABD после точки D должна повторяться в точности в том же виде. Вследствие нечетной симметрии характеристики (рис. 3.1, б) должна иметь место нечетная симметрия и полупериодов АВ н BD. Поэтому для определения перио­дического решения (автоколебаний) достаточно рассмот­реть один полупериод — участок АВ.

Обозначим через Т полупериод искомых автоколеба­ний. В силу периодичности решения начало и конец участка АВ должны удовлетворять равенствам

Первое условие, согласно (3.2), принимает вид

откуда

Второе условие (3.8), согласно (3.3), запишется в виде

или

Подставив сюда выражение для С1 из (3.9), придем к

уравнению

с одной неизвестной величиной — полупериодом Т.

Трансцендентное уравнение (3.10) легко решается графически. Обозначим

Кривые z1 и z2, согласно этим равенствам, изображены на рис, 3.4. Решением уравнения (3.10) будет точка z1=z2

т. е. точка пересечения кри­вых 21 и 22 (рис. 8.9).

Рис. 8.9.

От­сюда находим полупериод Т автоколебаний. Частота ав­токолебаний

Амплитуда автоколебаний определится как хmax на уча­стке АВ (рис. 3.2), т. е. из условия dx/dt == 0. При этом из (3.2)

где С1 определяется формулой (3.9), a tm - время t в точке максимума попа неизвестно. Из (3.11) с учетом (3.9) находим

откуда

Далее по формуле (3.3) определим амплитуду автоко­лебаний:

где C1 известно из (3.9). В результате формула

позволяет вычислить и амплитуду автоколебании.

ЛЕКЦИЯ 27.