8.2. Методы минимизации невязки. Метод гармонического баланса

План лекции

1. Методы минимизации невязки

2. Метод гармонического баланса

Метод гармонического баланса

Этот широко распространенный из-за своей простоты метод непосредственно вытекает из методов минимизации невязки и применяется тогда, когда приближенное реше­ние имеется в виде суммы нескольких гармоник (в про­стейшем случае — одной):

8.8

При этом система уравнений (10.7) будет выполнять­ся, если р(/) не будет содержать в качестве слагаемых гармоник, учтенных в приближенном решении (могут быть более высокие гармоники). Иными словами, если коэффициенты С_ь С₂,...,D_ui)₂> • • • в приближенном решении y(t) выбрать так, что при подстановке этогоприближенного решения в исходное дифференциальное уравнение коэффициенты при всех гармониках, учтенных в приближенном решении, будут равны нулю, то такое приближенное решение менее всего отличается от точно­го решения.

8.4

Это и есть принцип гармонического баланса. В соответствии с принципом гармонического баланса коэффициенты в решении (10.8) находятся из системы уравнений:

8.9

Пример. Система автоматического управления с нелинейной реактивностью. Рассмотрим САУ (рис. 10.4,а), состоящую из нелинейного инерционного звена 1, опи­сываемого уравнением (10.1), и интегрирующего звена 2, предпо­лагая, что все остальные звенья системы безынерционны, а зави­симость Т\ (у) определяется соотношением

Т₁(у) = Т₁+ау².

Дифференциальное уравнение такой системы находится из сле­дующих уравнений звеньев:

Исключаяиз этих уравнений е и yt, получаем дифференциаль­ное уравнение второго порядка

Для принятой зависимостиТ(у) получим

Исследуем режим вынужденных (стационарных) пе­риодических колебании при гармоническом входном воздействии

Решение будем искать в виде одной гармоники

предполагая, что нелинейность системы достаточно ма­ла, чтобы можно было не учитывать искажение формы колебаний .

Подстановка х, ув дифференциальное уравнение дает после приравнивания коэффициентов при cosωt и sinωt

С помощью замены переменных

перейдем к полярным координатам

где относительная расстройка системы -резонансная частота системы при нулевой ам­плитуде.

Так как sinif> и cos О входят в эти уравнения линей­но, это позволяет разделить переменные и построить ам-плитудно-фазо-частотиую характеристику системы:

8.10

Задавая амплитуду колебаний У (при данном X), определяем из второго уравнения относительную рас­стройку, после чего определяем из первого уравнения фазу колебаний Графики частотных характеристик приведены на рис. 10.4,6.

Устойчивые и неустойчивые стационарные состояния. Релаксации. При малых внешних воздействиях (и малых величинах амплитуды У) влияние нелинейности сводит­ся к некоторому искажению формы амплитудно-фазо- частотных характеристик по сравнению с характеристи­ками линейной системы (график, соответствующий Х\ на рис. 10.4,6). Это несущественное влияние нели-нейностей.

При увеличении амплитуды внешних воздействий ча­стотные характеристики могут качественно отличаться от характеристик линейных систем. Так, на участке Г)1-г-7|₂ графика, соответствующего значению амплитуды х₂, появилось три стационарных состояния. Два из них устойчивы, а третье (участок а + Ь амплитудно-частот-ных характеристик) неустойчиво. Появление бистабиль- ной зоны обусловлено кривизной скелетной кривой |о(у), определяющей зависимость резонансной частоты системы (частоты, при которой фазовый сдвиг Ф равен ну­лю) от амплитуды (пунктирная кривая на амплитудно- частотной характеристике на рис. 10.4,6), определяемой из второго уравнения (10.10) при £i=0.

Переход системы нз одного устойчивого стационар­ного состояния в другое происходит скачком, лавинооб­разно н называется релаксацией. Причиной, вызы­вающей релаксацию могут быть либо плавное, либо импульсное воздействие на систему, после снятия кото­рого система остается в другом устойчивом состоянии. Например, если плавно увеличивать относительную рас­стройку т) при амплитуде дг₂, то сначала точка состояния системы будет перемещаться по верхней ветви ампли-тудно до точки а, а затем скачком, релаксационно, переместится на нижнюю ветвь характеристики. При обратном изменении tj релаксация произойдет в точке Ь.

Наличие нескольких стационарных состояний и ре­лаксационные переходы — это свойства существенно нелинейных систем. В линейных системах эти явления встречаться не могут

Методы минимизации невязки

Эти методы применяются, если приближенное реше­ние на данном интервале изменений аргументаa<t<bизвестно с точностью до коэффициентов и может быть представлено конечной суммой заранее известных функ­ций

В этом приближенном решении функция УйШ анало­гична порождающему решению и должна иметь доста­точное количество произвольных постоянных для удо­влетворения начальным условиям.

Задача метода — определение значений коэффициен­тов С_1, С₂, ... С_m, при которых приближенное решение y(t) будет минимально отличаться от неизвестного точ­ного решенияY(t) в заданном интервале.

Если в исходное дифференциальное уравнение

подставить приближенное решение, то оно перестает быть равным нулю:

Отличная от нуля функция называется невяз­кой.

В качестве критерия наилучшей сходимостиY(t) кy(t) Галеркин предложил принять среднее квадратич­ное отклонение в заданном интервале

Ищем такие оптимальные коэффициенты С₁ С₂,.. ..С_т, при которых эта функция J будет минимальной. Эта задача на отыскание экстремума сводится к системе уравнений

8.6

из которой определяются значения C₁, С₂,С_т.

Если функцииyo(t), yi(t),..., y_m(t) ортогональны в заданном интервале, т. е. если

при всех и не равно нулю при , то, как показалРитц, для линейных систем оптимальные коэффициенты находятся из системы уравнений

8.7

Лекция 25