8.1Метод возмущений (метод малого параметра).

Метод вариации параметров

План лекции:

1. Метод возмущений (метод малого параметра)

2. Метод вариации параметров

3. Рекомендуемая литература [9].

8.2Метод возмущений (метод малого параметра)

Этот метод основан на разложении решения урав­нения в ряд по степеням параметра е относительно по­рождающего решенияy_o(t):

8.2

Коэффициенты этого ряда y₀(t), y₁(t), … находятся подстановкой y(t) в исходное дифференциальное урав­нение и приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях е в левой и правой частях уравнения.

Если порождающее решениеy_o(t) оказывается пе­риодической функцией времени, то в функцияхy₁(t), y₂(t)… появляются беспредельно растущие так назы­ваемые «вековые» члены видаtsinωt Для их устране­ния следует учитывать реально существующую зависи­мость частоты колебаний от амплитуды, т. е. представ­лять частоту колебаний также в виде ряда

8.3

где А₁(а), А₂(а)—функции амплитуды колебаний а, выбираемые таким образом, чтобы «вековые» члены отсутствовали.

Метод возмущений наиболее эффективен при нахож­дении стационарных решений с высокой точностью, од­нако его можно использовать также при исследовании неустановившихся режимов.

Пример. Следящая система с насыщающимся уси­лителем. Пусть в следящей системе, состоящей из линейной и нелинейной частей (рис. 10.2,а), линейная часть (ЛЧ) описывается линейным дифференциальным уравнением

а нелинейная часть (НЧ) безреактивна и имеет «малую» нелиней­ность

С учетом этого можно записать

Подставив это выражение в уравнение линейной части, получим дифференциальное уравнение системы

В этом выражении

Если система устойчива, а изменение х происходит настолько медленно, что всеми производными можно пренебречь из-за их ма­лости, то уравнение системы значительно упрощается:

Это уравнение стационарных состояний системы.

В соответствии с методом возмущений ищем решение в виде

Для дальнейших выкладок нужно уточнить характер нелинейно­сти. Допустим, что нелинейными свойствами обладает усилитель с насыщением. Наиболее просто его характеристику можно аппро­ксимировать функцией z=ky—ty³ (рис. 10.2,6). В этом случае

С учетом этого постановка решении в уравнение ста­ционарных состояний дает

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях е в право» н левой частях уравнения, получим

Итак, окончательно получаем решение

С помощью этого выражения получаем ошибку квазистационар­ного слежения

и выходную величину

Если система астатическая, то в линейной части имеется по край­ней мере одно интегрирующее звено и, следовательно, ао=0. При этом, как и в линейной системе е=0, z=x.

Введя обычные для линейных статических систем обозначении

получим уравнение в более знакомой записи:

Как следует из анализа этого уравнения, з статической системе с насыщением с увеличением входного воздействия ошибка слеже­ния енарастает быстрее, чем в линейной системе, а выходная вели­чина отстает от входной нелинейной (рис. 10.2,в). Первая зависи­мость соответствует астатической системе, вторая — статической ли­нейной и третья — статической нелинейной.

Отметим характерную особенность системы с нелинейными эле­ментами. Если линейную и нелинейную части в схеме на рис. 10.2,а поменять местами, то изменится дифференциальное уравнение, а сле­довательно, и свойства системы.

Метод вариации параметров

Этот метод основан на предположении, что «малые» члены производят медленные изменения порождающего решения. Как и в предыдущем методе, сначала находят порождающее решение, а затем предполагают, что по­стоянные интегрирования в этом решении являются «медленными» функциями времени. С учетом этого предположения решение подставляют в исходное урав­нение и отыскивают такие зависимости постоянных интегрирования от времени, при которых решение удо­влетворяет уравнению. Иногда метод вариации пара­метров позволяет получить точное решение уравнения, а в большинстве случаев — приближенное.

В частности, если поведение системы описывается уравнением второго порядка вида

(10.4)

или, что то же самое, системой уравнений первого по­рядка

тo порождающее решение находится при е=0:

Затем предполагают, что постоянные интегрирования — амплитуда и фаза колебаний (а и 0) — медленные функции времени:a = a(t), 0—0(/).

При этих предположениях получаем систему урав­нений:

которая разрешается относительно и

Обычно проинтегрировать эти уравнения и опреде­лить а и 0 не удается; как правило, переменные в них не разделяются. Но если е достаточно мал, то а и 0 можно считать неизменными в течение периода и про­вести усреднение и за период:

После интегрирования правых частей уравнений (10.5) получаем так называемое укороченное уравнение. Укороченное уравнение в некоторых случаях удается решить аналитически, а в большинстве случаев — чис­ленно с помощью ЦВМ или на модели.

Метод вариации параметров удобен при определении переходных процессов в системе; стационарные состоя­ния находятся с помощью этого метода не очень точно— с точностью первого приближения.

8.3

Пример. Отработка постоянного рассогласова­ния в астатической нелинейной системе второго порядка. Предполагая, что нелинейная часть системы, блок-схема которой приведена на рис. 10.3,а, имеет «малую» нелиие^ость, мож­но записать у=к_не+εφ(е).

Будем считать, что линейная часть системы состоит из одного интегрирующего и одного инерционного звена, так что

Учитывая, что вычитающее звено описывается уравнением х— =2, можно записать уравнение системы

Для рассматриваемого случая отработки начального рассогласо­вания x=X=const, . Следовательно, уравнение можно за­писать в виде

Где

Для определенности дальнейшего рассмотрения положим, что

Пользуясь выражениями (10.5), находим

Первое из этих уравнений легко интегрируется: Подставив полученное решение во второе уравнение и проинтегрировав его, получим

Последнее выражение показывает, что затухание колебании в системе происходит с переменной частотой. Если е>0, то мгновен­ная частота колебаний

уменьшается (график 3 на рис. 10.3,б) с течением времени; если е<0, то частота колебаний увеличивается (график 2 та рис. 10.3,0) и, наконец, при f=0 частота колебаний остается неизменной. Этот эффект может быть использован для нелинейной коррекции пере­ходных процессов в системе.

Лекция 24