8. Нелинейные системы автоматического управления. Аналитические методы исследования Лекция 22

План лекции:

1. Отличительные особенности нелинейных систем.

2. Методы исследования нелинейных систем.

8.1. Отличительные особенности нелинейных систем

В природе процессы, описываемые линейными урав­нениями, не встречаются. Любой элемент САУ можно считать линейным и описывать его поведение линейным уравнением лишь в определенной области изменений контролируемых переменных величин if внешних воз­мущающих воздействий. Например, на простейшем эле­менте — проволочном сопротивлении — пропорциональ­ная зависимость между током и напряжением наблюда­ется лишь при малых рассеиваемых мощностях, а при значительном увеличении тока сопротивление увеличи­вается и эта пропорциональность нарушается. Кроме того, величина сопротивления зависит от внешних воз­действий: окружающей температуры, давления, влажно­сти и т. д. Широко применяемые в современных САУ вакуумные лампы, транзисторы, туннельные диоды, де­тектирующие диоды и так далее имеют существенно нелинейные характеристики и лишь в весьма узкой области изменения переменных могут считаться линей­ными.

Однако очень многие САУ построны так, что в нор­мальном режиме работы их нелинейности не оказывают существенного, качественного влияния на поведение си­стем, а вносимые нелинейностями количественные откло­нения настолько малы, что их можно в инженерной практике не учитывать. Процессы в таких системах с удовлетворительной точностью описываются линейны­ми дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, а сами системы называются линей­ными.

Хорошо разработанная теория линейных дифферен­циальных уравнений, удобный математический аппарат линейного анализа (ряды Фурье, операторный метод и т. д.) обусловили развитие эффективных методов ана­лиза и синтеза линейных САУ.

Многие САУ не могут быть с достаточной точностью, а иногда даже качественно правильно описаны линей* ными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Например, невозможно с помощью линейных методов исследовать системы, работающие в колебательном или релаксационном режиме, учесть влияние ограничения, люфтов, насыщения и многих дру­гих явлений, имеющих место в реальных системах и ока­зывающих существенное влияние на их работу.

В современной практике по мере усложнения и усо­вершенствования САУ все чаще приходится сталкивать­ся с системами, функционирование которых описывается дифференциальными уравнениями с переменными коэф­фициентами, уравнениями в конечных разностях и чаще всего с нелинейными дифференциальными уравнениями.

Системы, поведение которых описывается нелиней­ными дифференциальными уравнениями, будем назы­вать нелинейн ы м и САУ. С математической точки зрения наиболее существенным отличием линейных си­стем от нелинейных является то, что в последних непри­меним принцип суперпозиции, на котором основаны ме­тоды анализа линейных систем: гармонический анализ, операторный метод, представление полного решения в виде суммы общего и частного решений, критерии устойчивости и т. д.

При анализе нелинейных уравнений нет единого ма­тематического метода; различные методы исследований (в основном приближенные) применяются в зависимо­сти от характера уравнений и требуемых результатов.

Наиболее часто на практике встречаются системы с нелинейными безреактивными элементами, т. е. с эле­ментами, в которых связь между переменными, описы­вающими поведение элемента, функциональна (а не дифференциальна). У таких систем выходная величина зависит только от входной величины (входных величин) и не зависит от производных (или интегралов) входной величины. Если входная величина одна, то поведение безпеактивного нелинейного элемента можно описатьфункциейy=f(x)и изобразить графиком на плоско­сти (у, х).

8.1

Отметим, что функцияf(x)может иметь точки раз­рыва, неоднозначные (гистерезисные) области, точки из­лома и другие нерегулярности. На рис. 10.1 приведены наиболее распространенные виды нелинейных безреак­тивных характеристик (сплошными линиями) и обычно применяемые линейно-ломаные аппроксимации этих ха­рактеристик (пунктирными линиями).

Явление ограничения (насыщения)

(рис. 10.1,а, б) встречается в большинстве реальных устройств: вакуумной лампе и транзисторе (усилителях, детекторах, автогенераторах, дискриминаторах и т. п.), ферромагнитных материалах (трансформаторах, магнит­ных усилителях, сельсинах, двигателях, электромашин­ных усилителях, индуктивностях с сердечниками и т. п.), газонаполненных электронных элементах (тиратронах, газотронах, стабилитронах и т. п.) и др.

Зона нечувствительности (рис. 10.1,е, г) также встречается весьма часто: в реле, тиратронах,стабилитронах, двигателях, электромашиниых усилите­лях и т. п.

Гистерезисные области (рис. 10.1,а, е) встре­чаются в устройствах иаферромагнитных материалах, газонаполненных приборах, любых триггерных устрой­ствах, электромагнитных реле, механических передачах с люфтом и т. п.

Релейные характеристики (рис. 10.1,ж, з) присущи различным электромеханическим и электрон­ным реле, применение которых в ряде случаев значи­тельно упрощает САУ.

Другим распространенным типом нелинейных эле­ментов являются реактивности (индуктивности, емко­сти), поведение которых описывается дифференциаль­ным уравнением первого порядка

или более общим уравнением нелинейного инерционного звена

8.1

В этих уравненияхf(x), Г (у) могут быть нелинейны­ми, возможно гистерезисными, функциями. Обычно при рассмотрении систем с нелинейными реактивностями пользуются разложением функцийf(x) иТ(у) в степен­ные ряды.

Примерами нелинейных реактивностей могут слу­жить любые устройства с обмотками на ферромагнитных сердечниках, любые схемы, содержащие р-п пере­ходы (полупроводниковые диоды, транзисторы и т. п.), так как ферромагнитные материалы обладают нелиней­ной зависимостью В(Н), а р-п переходы — нелинейной емкостью С (и).

Математика не предлагает общих методов решения нелинейных дифференциальных уравнений, аналогичных методам линейного анализа. Точное решение известно только для очень малого числа нелинейных уравнений, имеющих специальные названия, большинство же нели- » нейных систем исследуется приближенными методами.

Методы исследования нелинейных систем

Методы исследования нелинейных систем можно раз­бить на три группы: аналитические, графические и численные. Аналитические и графические методы удовлетворительно разработаны в основном для систем не выше второго порядка с «малыми» нелиней-ностями. Уравнения высших порядков обычно приходит­ся исследовать более громоздкими и менее общими чис­ленными методами с применением аналоговых или циф­ровых вычислительных устройств.

Функционирование нелинейных систем может сопро­вождаться физическими явлениями, которые не могут иметь места в линейных системах. К таким явлениям следует отнести колебательный (релаксационный или гармонический) режим работы с мягким или жестким возбуждением колебаний; возможность существования нескольких устойчивых и неустойчивых равновесных со­стояний; параметрический резонанс на гармониках или субгармониках внешних воздействий и т. д. Наличие отличительных физических явлений привело к появле­нию специальных категорий для нелинейных систем: различных видов устойчивости САУ (абсолютная, асимптотическая, устойчивость в малом и в большом, устойчивость цикла), различных параметров колеба­тельного режима (время релаксации, период основной частоты, форма колебаний) и т. д. &

Преимущество аналитических методов по сравнений) с другими в том, что окончательным результатом явля­ются весьма общие для рассматриваемого класса нели­нейных систем формулы и аналитические соотношения, которые можно применять для инженерных расчетов при проектировании.

Первым шагом при исследовании САУ является ма­тематическое описание поведения отдельных элементов и всей системы. При этом широко применяется аппрок­симация реальных нелинейных зависимостей простей­шими аналитическими функциями: полиномами, тригоно­метрическими функциями и др. Если аппроксимацию одной функцией во всем диапазоне изменений перемен­ных применить не удается, то применяют кусочно-лома­ную аппроксимацию по отдельным участкам диапазона изменений переменных. Следует подчеркнуть важность правильного выбора аппроксимирующих функций; ино­гда от этого зависит успех дальнейших исследований. В ряде случаев соответствующий подбор аппроксими­рующих функций и надлежащий выбор переменных Возволяют свести уравнение нелинейной системы к одном} из немногих дифференциальных уравнений, имеющих точное решение (например, к уравнению Риккатти, Бер-нулли. Бесселя и др.). Если это не удается, то применяют один из приближенных методов нахождения решения.

Из всего многообразия приближенных методов рас­смотрим наиболее часто применяющиеся в практике ра­диоинженеров.

Представление решения в виде степенногого ряда . Это один из наиболее универсальных, но наиболее трудоемких и громоздких приближен­ных методов. Значения Щ находятся подстановкой ряда в исходное уравнение и приравниванием коэффициентов при одинаковых степеняхt. Основным недостатком этого метода является то, что коэффициенты щ находятся в зависимости от параметров системы, и по виду реше­ния трудно определить влияние отдельных параметров на поведение си-стемы. Особым вопросом данного метода является исследование сходимости ряда.

Несколько приближенных методов (метод возмуще­ний, метод вариации параметров и их различные моди­фикации) основаны на определении порождающего решения. Эти Методы применяются- тогда, когда диф­ференциальное уравнение системы можно разбить на две такие составные части (два слагаемых):

Что для одной из них, основнойf 1 (у, у',..у^п,t) =0, решение может быть найдено (это и есть порождающее решение), а остальные члены, входящие в малы по сравнению с основной частью урав­нения. Обычно малость второго слагаемого определяет­ся малым параметром е<1, а сами функции f₁иf₂гут быть соизмеримы. Малость второго слагаемого опре­деляет малые отличия полного решения от порождаю­щего и возможность различных разложений в функциональные ряды относительно порождающего решения.

Лекция 23