3. Критерий устойчивости гурвица

Алгебраический критерий Гурвица позволяет судить об устойчи­вости линейной системы по коэффициентам характеристического уравне­ния замкнутой системы

Д (р)= а_nрⁿ+ а_n-1 р^n-1+…+ а₁ р+ а₀=0 (4.9)

Нетрудно показать, что левым корням характеристического урав­нения (4.9) соответствуют положительные коэффициенты, а_n, а_n-1, ... , а₁, а₀. Для этого уравнение (4.9) можно представить в виде произ­ведения простых сомножителей

Д (р)= а_n(р – р₁)(р – р₂)…(р – р_n)=0, (4.10)

подставить в него корни

р_k= – _k  i_k (4.11)

и, раскрыв скобки, привести его к виду (4.9).

Таким образом, необходимым условием устойчивости САУ является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения системы. Однако это условие не является достаточным. Критерий Гурвица позволяет сформулировать необходимое и достаточное условие устойчивости.

Для того, чтобы система была устойчивой, необходимо и доста­точно, чтобы старший определитель Гурвица и все его диа­гональные миноры были бы положительные.

Правило образования определителя Гурвица сводится к следующему. В верхней строке записываются по порядку коэффициенты с нечетными ин­дексами, начиная с а_n-1.. Всего заполняется n элементов строки, вза­мен недостающих коэффициентов ставятся нули. Вниз от элементов i-ой строки столбцы определителя заполняются коэффициентами с индекса­ми, возрастающими каждый раз на единицу.

Старший определитель Гурвица, составленный по этому правилу на основании уравнения (4.9) , имеет вид

.

Для обеспечения устойчивости системы необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

(4.12)

Подучим условия устойчивости по критерию Гурвица для неко­торых частных случаев.

1. Система 1-го порядка. Характеристическое уравнение в этом случае имеет вид

Д (р)= а₁ р + а₀=0 .

Условия устойчивости (4.12) сводятся к выполнению следующих неравенств: .

2. Система 2-го порядка. Старший определитель Гурвица, составленный по характерис­тическому уравнению

Д (р)=а₂р²+ а₁ р+ а₀=0,

принимает вид

. (4.13)

Условия устойчивости (4.12) сводятся к выполнению следующих неравенств:

т.е. система будет устойчива, если

а₂0; а₁0; а₀0.

Таким образом, необходимым и достаточным условием устойчи­вости систем 1-го и 2-го порядков является положительность коэффициентов их характеристических уравнений.

3. Система 3-го порядка. Старший определитель Гурвица, составленный по характеристи­ческому уравнению

Д (р)=а₃р³+ а₂ р² + а₁ р+ а_0,

принимает вид

,

где

. (4.14)

Условие устойчивости (4.12) в этом случаев сводится к выпол­нению следующих неравенств:

Таким образом, кроме положительности коэффициентов а30; а20; а10; а00

для обеспечения устойчивости системы 3-го порядка необходимо выполнение следующего дополнительного условия:

а₂а₁– а₀а₃  0. (4.15)

Для уравнений более высоких степеней пользоваться критерием Гурвица нецелесообразно, так как процесс раскрытия определи­телей высокого порядка становится неоправданно трудоемким, а до­полнительные условия устойчивости получаются громоздкими. При не­однократных попытках предложить более простые методы раскрытия определителей авторы приходили к алгоритму Рауса или очень близкому к нему алгоритму.

ЛЕКЦИЯ 10

План лекции:

1. Критерий Михайлова.

2. Критерий Найквиста.

3. Рекомендуемая литература [1, 4, 8].