3.6. Особенности частотных характеристик устойчивых

и минимально-фазовых звеньев

В общем случае исчерпывающее описание звена с помощью частот­ных характеристик требует знания АФЧХ W(i), либо любой пары функций: H() и () или U() и V().

Однако оказывается, что для некоторого класса звеньев су­ществует однозначная связь между образующими эти пары функциями, и поэтому для полного описания таких звеньев достаточно иметь толь­ко одну из них.

Остановимся вначале на связи между действительной U() и мнимой V() частотными функциями. Доказано, что в случае устойчивых звеньев эти функции однозначно связаны, т.е. по любой из них можно найти другую. Устойчивым звеном называется звено, все полюсы передаточной функции которого имеют отрицательные действи­тельные части.

Теперь обратимся к определению связи между амплитудной H () и фазовой  () частотными функциями. Доказано, что эти функции однозначно связаны у минимально-фазовых звеньев. Минимально-фазовым звеном называется звено, у которого все полюсы и нули передаточной функции имеют отрицательные или равные нулю действи­тельные части. Свое название минимально-фазовые звенья получили в связи с тем, что они дают минимальный фазовый сдвиг  по сравнению с любыми звеньями, имеющими такую же амплитудную функ­цию H (), но у которых указанное выше условие в отношении полюсов и нулей передаточной функции не выполняется. Чтобы проил­люстрировать последнее, рассмотрим звено с уже знакомой нам пере­даточной функцией

.

Согласно определению, это звено является минимально-фазовым, так как, его единственный полюс равен -1/Т, т.е. отрицательный дей­ствительный, а нулей вообще нет. Амплитудно-фазовая функция этого звена

и, следовательно, амплитудная функция равна

,

а фазовая

.

При    значение  изменяется от 0 до (–) .

Рассмотрим теперь звено с передаточной функцией

.

Это звено не является минимально-фазовым, так как его передаточ­ная функция имеет положительный действительный полюс (+1/Т). За­метим, что по этой причине данное звено является также и неустойчивым. Амплитудно-фазовая функция этого звена имеет вид

.

Его АЧХ совпадает c АЧХ первого звена, а фазовая функция равна

 () = arctgT – .

При    значение  изменяется от (- ) до (–  ). Таким образом, второе звено создает большее фазовое запаздывание, чем первое, являющееся минимально-фазовым.

Для графического описания минимально-фазовых звеньев применяют только АЧХ. В случае необходимости по ней может быть построена ФЧХ. Принципиально связь между этими характеристиками такова, что величина фазы  растет с увеличением наклона АЧХ. При этом в случае применения ЛАЧХ можно приближенно считать, что участку ЛАЧХ с наклоном ( - 20) дБ/дек соответствует фазовый сдвиг, близкий к (– ), а участку ЛАЧХ с наклоном (- 40) дБ/дек – сдвиг (- ). Конкретно взаимосвязь между ЛАЧХ и ЛФЧХ можно проследить на примере характеристик, приведенных в табл. 3.1.

4. Устойчивость систем автоматического управления

Лекция 9

План лекции:

1. Понятие об устойчивости заданного режима.

2. Определение устойчивости по Ляпунову.

3. Критерий устойчивости Гурвица.

4. Рекомендуемая литература [1, 2, 7].