3.5. Частотные характеристики типовых звеньев

Выше было отмечено, что ЛАФЧХ любой, как угодно сложной САУ, можно построить практически без расчетов по известным ЛАФЧХ ти­повых звеньев, которые сведены в табл. 3.1.

1. Усилительное звено. Передаточная функция этого звена . Амплитудно-фазовая частотная характеристика имеет вид

. (3.31)

Согласно (3.24), (3.25) и (3.31) имеем:

_. (3.32)

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика

. (3.33)

Анализ (3.32) и (3.33) показывает, что ЛАХ усилительного звена не зависит от частоты, а ФЧХ равна 0.

2. Интегрирующее звено. Передаточная функция этого звена имеет вид АФЧХ равна . (3.34)

Согласно (3.34) имеем:

. (3.35)

На основании (3.35)

. (3.36)

ЛАХ пересекает ось частот при т.е.

, или . (3.37)

Найдем изменение ЛАХ (по амплитуде) при изменении частоты на одну декаду

.(3.38)

Таким образом, ЛАХ интегрирующего звена согласно (3.36), (3.37) и (3.38) представляет собой прямую линию с наклоном (-20) дБ/дек, пересекающую ось частот при .

3. Апериодическое (инерционное) звено. Передаточная функция этого звена имеет вид

АФЧХ равна

(3.39)

где

;

Согласно (3.39) АЧХ и ФЧХ имеют вид:

. (3.40)

ЛАЧХ апериодического звена

(3.41)

может быть приближенно представлена ломаной линией. Эта прибли­женная характеристика называется асимптотической ЛАЧХ. Такое назва­ние связано с тем, что эта характеристика построена из двух асимптот, к которым стремится ЛАЧХ при   0 и   . Найдем эти асимптоты.

При малых значениях  1/T в выражении (3.41)

т.е.

В этом случае характеристика представляет собой прямую, параллельную оси частот и проходящую на уровне 20 lg k. Это есть низкочастотная асимптота, к которой стремится ЛАЧХ при   0.

С другой стороны, на больших частотах, когда  >> 1/T имеем

, т. е. _.

В этом случае характеристика представляет собой прямую, име­ющую наклон (-20) дБ/дек. Действительно, при увеличении  на 1 декаду, т.е. в 10 раз

Эта линия является высокочастотной асимптотой, к которой стремится ЛАЧХ при   . Обе асимптоты пересекаются на сопря­гающей частоте   1/T.

При  1/T согласно (3.41) имеем

.

Таким образом, максимальное расхождение между истинной и асимптотической ЛАЧХ равно всего 3 дБ. Поэтому при практических по­строениях используют обыч­но асимптотическую ЛАЧХ.

Фазовая частотная характеристика, соответствующая выражению (3.40), при  изменяется от 0 до (–). При этом в точке   1/T фазовая характеристика  ( )     .

Если частотные характеристики получены экспериментально, по ним нетрудно определить параметры звена Т и k, пользуясь описанной выше зависимостью между этими характеристиками и передаточной функцией.

4. Колебательное звено. Передаточная функция колебательного звена имеет вид

. (3.42)

АФЧХ , согласно (3.42), равна

. (3.43)

Исходя из выражения (3.43) получим:

; (3.44)

. (3.45)

На основании (3.44) можно записать

. (3.46)

Тогда ЛАЧХ можно представить в виде двух асимптот, к которым она стремится при   0 и   .

Уравнение низкочастотной асимптоты получается из (3.46) при  1/T

.

Уравнение высокочастотной асимптоты при   0 имеет вид

. (3.47)

Из последнего выражения следует, что при увеличении частоты  на 1 декаду ЛАЧХ понижается на 40 дБ, что и определяет наклон высокочастотной асимптоты в (- 40) дБ/дек. В области средних частот (  1/T) асимптотическую ЛАЧХ корректируют с помощью готовых графиков поправок, дающих разность между истинной к асимп­тотической ЛАЧХ. Графики поправок (рис.3.3.) и фазовые частотные характеристики колебательного звена (рис.3.3.) существенно зависят от величины .

Рис.3.3

Таблица 3.1

№ п/п	Типовое звено	Передаточная функция	ЛАФЧХ
1	2	3	4
1	Усилительное	k
2	Дифференцирующее	Tp
3	Интегрирующее	1 / Tp
4	Апериодическое	1 / (Tp+1)
5	Форсирующее первого порядка	Tp+1
6	Форсирующее второго порядка
7	Колебательное
8	Колебательное при (демпфирование отсутствует)
9	Форсирующее звено второго порядка при
10	Неустойчивое форсирующее звено первого порядка	Tp-1
11	Неустойчивое форсирующее звено второго порядка
12	Неустойчивое апериодическое
13	Фазоинверсное	- 1
14	Неустойчивое колебательное

5. Дифференцирующее и форсирующее звенья. ЛАФЧХ дифференцирующего и форсирующих (первого и второго порядка) звеньев можно получить зеркальным отражением относительно оси частот соответственно интегрирующего, апериодического и колебательного звеньев.