II. Кинематика

Задача 2.1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям её движения

По заданным уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и для момента времени t = t (с) найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.

Необходимые для решения данные приведены в таблице (2.1).

Таблица 2.1

Данные для решения задачи 2.1

Номер варианта	Уравнения движения		t1, c
	х = x(t), см	y = y(t), см
1	-2 t2 + 3	- 5t	1/2
2	4 cos2 (π t /3) + 2	4 sin2 (π t /3)	1
3	- cos (π t 2/3) + 3	sin (π t 2/3) - 1	1
4	4 t + 4	- 4/(t + l)	2
5	2 sin (π t/3)	- 3 cos(π t/3) +4	1
6	3 t2 + 2	- 4 t	1/2
7	3 t2 - t + 1	5 t2 - 5 t/3 - 2	1
8	7 sin (π t 2/6) + 3	2 -7 cos (π t 2/6)	1
9	-3/(t + 2)	3t + 6	2
0	- 4 cos (π t /3)	- 2 sin (π t /3) - 3	1

Образец выполнения задачи 2.1

По заданным уравнениям движения точки М

x = 4 sin t, y = 3 cos 2t (2.1)

установить вид ее траектории и для момента времени t = 1 с найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.

Решение. Найдем траекторию движения, для этого необходимо из закона движения (2.1) исключить время

. (2.2)

Как видно, траектория точки (2.2) это часть параболы, заключённой в прямоугольнике – 4 ≤ x ≤ 4, - 3 ≤ y ≤ 3.

Определим положение точки на траектории. Для этого необходимо подставить t = 1 сек. в закон движения (2.1)

x (1) = 4·sin 1 = 3,37 м; y (1) = 3·cos2 = - 1,25 м.

Рис. 2.1. Траектория, скорость, ускорение точки

Получим проекции скорости на оси координат

(2.3)

Найдём значения проекции скорости на оси координат в момент времени t = 1 сек., и по заданным проекциям скорости (2.3) найдём величину скорости

.

Получим проекции ускорения на оси координат

(2.4)

Найдём значения проекции ускорения на оси координат в момент времени t = 1 сек., и по заданным проекциям ускорения (2.4) найдём величину ускорения

.

Поскольку точка описывает криволинейную траекторию, то её ускорение можно представить в виде векторной суммы двух составляющих , где - касательное ускорение, - нормальное ускорение. Вектор направлен по касательной, то есть по одной линии со скоростью и равен по величине проекции вектора ускорения на вектор скорости. Вектор направлен по главной нормали (перпендикулярно касательной) в сторону вогнутости траектории.

Найдём касательное ускорение точки

.

В данном случае направления векторов и противоположны и движение замедленное.

Так как векторы и всегда взаимно перпендикулярны то модуль полного ускорения . Отсюда найдём нормальное ускорение точки

.

Радиус кривизны траектории определим из формулы для нормального ускорения , откуда в момент времени t = 1 сек. будем иметь

.