14. Свойства решений линейного однородного уравнения порядка п.
Фундаментальная система решений.
Линейным однородным дифференциальным уравнением n - го порядка называется уравнение вида
Свойство 1. Линейное однородное уравнение всегда имеет решение вида y ≡ 0 .
Доказательство. Проверяется подстановкой y = 0 в исходное уравнение.
Свойство
2. Если
функции y1
(x)
и
y2
(x)
– решения однородного уравнения
,
то функция
тоже
решение этого уравнения.
Фундаментальная система решений (ФСР) представляет собой набор линейно независимых решений однородной системы уравнений.
15. Нахождение общего решения линейного однородного дифференциального уравнения п-го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение.
Дифференциальное уравнение вида
(1)
где
,
,
f
- известная функция, называется линейным
дифференциальным уравнением n
- го порядка с постоянными коэффициентами.
Если
, то уравнение (1) называется однородным,
в противном случае - неоднородным.
К однородному уравнению, очевидно,
применима теорема существования и
единственности, причем интервалом
определения решений этого уравнения
будет вся действительная ось.
Если f - непрерывная функция, то общее решение уравнения (1) состоит из суммы общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения (1).
Чтобы решить однородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами (1) надо составить характеристическое уравнение
(2)
и
найти его корни
. Каждому простому корню соответствует
частое решение однородного уравнения
(1), имеющее вид
,
а каждому корню
кратности k
- решения
. Произвольная линейная комбинация всех
частных решений является общим решением
однородного уравнения (1), т.е.
где
произвольные постоянные.