5. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

a(x)y`+b(x)y=f(x) (1)

Где а(х), b(x), f(x) – заданные непрерывные функции, причем а(х) не равна тождественно нулю

Уравнение вида y` + a(x) y = b(x) (2)

называется линейным неоднородным уравнением первого порядка, поскольку

искомая функция и ее производная входят в него в виде линейной комбина-

ции. Если b (x) ≡ 0, уравнение является однородным, причем однородное

линейное уравнение – это уравнение с разделяющимися переменными. На

этом основан способ решения неоднородных линейных уравнений – метод

вариации постоянной. Получив решение однородного уравнения

y¢ + a(x) y = 0 в виде y = f (x, C), считают, что решение уравнения (2) имеет

такой же вид, но С = С (х) – не постоянная, а функция от х, вид которой

можно определить, подставив y = f (x, C (х)) в уравнение (2).

5. Дифференциальное уравнение Бернулли.

Бернулли уравнение, дифференциальное уравнение 1-го порядка вида:

dy/dx + Py = Qya,

где Р, Q — заданные непрерывные функции от x; a — постоянное число. Введением новой функции уравнения Бернулли сводится к линейному дифференциальному уравнению относительно z.

5. Особые решения дифференциального уравнения 1-го порядка.

Первый способ отыскания особого решения

Рассмотрим теперь дифференциальное уравнение в более общем виде

𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦′) = 0. (4.2)

Разрешая его относительно производной 𝑦′, мы имеем, вообще говоря,

несколько значений 𝑦′:

𝑦′ = 𝑓𝑖(𝑥, 𝑦), (𝑖 = 1, 2, . . . ) (4.3)

Пара значений 𝑥₀, 𝑦₀, следовательно, определяет здесь не одно решение, а

несколько в силу той же теоремы Коши, так как мы можем эту теорему

применять к любому из уравнений (4.3). Ограничимся такими уравнения-

ми (4.2), для которых функция 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦′) конечна и непрерывна для всех

конечных значений аргументов и допустим таковы же и производные по

аргументам. В этом предположении определим условия, при которых ре-

шение

уравнения (4.2) может быть особым решением. По известной теореме тео-

рии функций уравнение (4.2) определяет 𝑦′ как функцию 𝑥 и 𝑦 и эта функ-

ция 𝑓(𝑥, 𝑦) конечна, непрерывна и допускает такие же производные, если

только для рассматриваемых значений аргументов частная производная

не равна нулю. В частности, производная

определяется из равенства

Таким образом, если для какого-либо 𝑥0 и соответствующих

частная производная

то решение 𝑦 = 𝜙(𝑥) получается по теореме Коши, так как функция

удовлетворяет условиям этой теоремы. Отсюда заключаем, что если реше-

ние 𝑦 = 𝜙(𝑥) — особое, то для любого 𝑥 и для

должно удовлетворяться уравнение

(4.4)

Соотношение это имеет вид

и, следовательно, особое решение 𝑦 = 𝜙(𝑥) должно удовлетворять одно-

временно двум дифференциальным уравнениям (4.2) и (4.4). Отсюда ясно,

что, вообще говоря, уравнение (4.2) не допускает особых решений.

Исключая 𝑦′ из (4.2) и (4.4) придем к одному уравнению

𝑅(𝑥, 𝑦) = 0, (4.5)

которое должно удовлетворяться для 𝑦 = 𝜙(𝑥) в случае существования

особого решения.

продифференцируем по 𝑥 уравнение (4.2) в предположении, что 𝑦 заменено

на функцию 𝑦 = 𝜙(𝑥); получаем

или, принимая во внимание уравнение (4.4),

Резюмируя предыдущее, имеем следующие два метода отыскания осо-

бых решений:

1) Из уравнений (4.2) и (4.4) исключаем 𝑦′; полученное уравнение (4.5)

является особым интегралом, если 𝑦, определяемое им, удовлетворяет

данному уравнению (4.2).

2) Берем уравнения (4.2), (4.4) и (4.6); если они эквивалентны двум урав-

нениям, так что при исключении 𝑦′ получаем только одно уравнение

между 𝑥 и 𝑦, то это последнее является, вообще говоря, особым инте-

гралом.

Получив тем или другим приемом решение 𝑦 = (𝑥) мы должны еще

проверить, будет ли оно действительно особым, а не частным решением,

то есть не получится ли оно из общего при каком-либо частном значении

произвольного постоянного.

Второй способ отыскания особого решения