
- •Дифференциальные уравнения
- •Некоторые задачи естествознания, приводящие к дифференциальным уравнениям.
- •2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Общее и частное решение. Интегральные кривые.
- •Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
- •4. Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными.
- •Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
- •Дифференциальное уравнение Бернулли.
- •Особые решения дифференциального уравнения 1-го порядка.
- •Интегральные кривые дифференциальных уравнений 1-го порядка
- •9. Дифференциальные уравнения 2-го порядка. Общее и частное
- •11. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение.
- •12. Нахождение общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами методом неопределенных коэффициентов.
- •13. Линейная зависимость и линейная независимость системы функций на отрезке [а, b]. Определитель Вронского.
- •14. Свойства решений линейного однородного уравнения порядка п.
- •15. Нахождение общего решения линейного однородного дифференциального уравнения п-го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение.
Дифференциальные уравнения
Некоторые задачи естествознания, приводящие к дифференциальным уравнениям.
Уравнения, связывающие независимую переменную, неизвестную функцию и ее производные различных порядков, называется дифференциальным уравнением.
Задачи естествознания, приводящие к дифференциальным уравнениям:
Из области геометрии
Из области физики
Из области биологии
2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Общее и частное решение. Интегральные кривые.
Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называет-
ся уравнение вида
F(x, y, y`) = 0 , (1)
связывающее между собой независимую переменную, искомую функцию и
ее производную.
Частным решением такого уравнения является любая функция y = f (x),
которая при подстановке в уравнение (1) обращает его в тождество для всех
допустимых значений переменной.
Множество всех решений уравнения (1) называется его общим решением,
или общим интегралом. Оно имеет вид
y = f (x, С), (2)
такой, что любое частное решение получается из формулы (2) при некотором
значении произвольной постоянной С, и наоборот, любое фиксированное
значение С дает функцию, являющуюся решением уравнения (1).
Задача нахождения частного решения уравнения (1), удовлетворяющего
начальному условию y0 = f (x0), называется задачей Коши для уравнения
первого порядка.
Интегральной кривой называется график решения геометрически неопределённого интеграла (первообразной), представляющего собой семейство «параллельных» кривых , где каждому числу С соответствует определенная кривая семейства. График каждой кривой и называется интегральной кривой.
Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
Нормальная система в векторных обозначениях примет вид
где
.
Определение.
Вектор-функция
называется
решением нормальной системы (1) на
промежутке
,
если:
1.
2.
3.
Рассмотрим начальное условие
Точка
называется начальной точкой, а ее
координаты называются начальными
данными.
Определение. Задача нахождения решения нормальной системы (1), удовлетворяющего начальному условию (2), называется задачей Коши.
ТЕОРЕМА
Пусть
вектор-функция
удовлетворяет на каждом компакте области
по
условию:
Тогда:
1)
найдется такое
,
что при
решение
задачи Коши (1) при условии (2) существует,
2)решение задачи Коши единственно
4. Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными.
Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называют диффренециальное уравнение первого порядка, которое имеет вид
Так что коэффициенты при dy и при dx есть произведения функций, одна из которых зависит только от y, а другая – только от х. такое уравнение допускает «разделение» переменных – одна часть уравнения зависит от переменной у, а другая – от х.
Будем предполагать, что все входящие в уравнение функции непрерывны при рассматриваемых значениях х и у.
Рассмотрим вначале случай, когда f(x)≠0, r(y)≠0, получим уравнение
Интегрируя, находим общее уравнение в виде
Отдельно рассматривается случай, когда имеет место хотя бы одно из равенств f(x)=0, r(y)=0.