Дифференциальные уравнения

1. Некоторые задачи естествознания, приводящие к дифференциальным уравнениям.

Уравнения, связывающие независимую переменную, неизвестную функцию и ее производные различных порядков, называется дифференциальным уравнением.

Задачи естествознания, приводящие к дифференциальным уравнениям:

1. Из области геометрии

2. Из области физики

3. Из области биологии

2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Общее и частное решение. Интегральные кривые.

Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называет-

ся уравнение вида

F(x, y, y`) = 0 , (1)

связывающее между собой независимую переменную, искомую функцию и

ее производную.

Частным решением такого уравнения является любая функция y = f (x),

которая при подстановке в уравнение (1) обращает его в тождество для всех

допустимых значений переменной.

Множество всех решений уравнения (1) называется его общим решением,

или общим интегралом. Оно имеет вид

y = f (x, С), (2)

такой, что любое частное решение получается из формулы (2) при некотором

значении произвольной постоянной С, и наоборот, любое фиксированное

значение С дает функцию, являющуюся решением уравнения (1).

Задача нахождения частного решения уравнения (1), удовлетворяющего

начальному условию y0 = f (x0), называется задачей Коши для уравнения

первого порядка.

Интегральной кривой называется график решения геометрически неопределённого интеграла (первообразной), представляющего собой семейство «параллельных» кривых , где каждому числу С соответствует определенная кривая семейства. График каждой кривой и называется интегральной кривой.

3. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Нормальная система в векторных обозначениях примет вид

где .

Определение. Вектор-функция называется решением нормальной системы (1) на промежутке , если:

1.

2.

3.

Рассмотрим начальное условие

Точка называется начальной точкой, а ее координаты называются начальными данными.

Определение. Задача нахождения решения нормальной системы (1), удовлетворяющего начальному условию (2), называется задачей Коши.

ТЕОРЕМА

Пусть вектор-функция удовлетворяет на каждом компакте области по условию:

Тогда:

1) найдется такое , что при решение задачи Коши (1) при условии (2) существует,

2)решение задачи Коши единственно

4. Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными.

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называют диффренециальное уравнение первого порядка, которое имеет вид

Так что коэффициенты при dy и при dx есть произведения функций, одна из которых зависит только от y, а другая – только от х. такое уравнение допускает «разделение» переменных – одна часть уравнения зависит от переменной у, а другая – от х.

Будем предполагать, что все входящие в уравнение функции непрерывны при рассматриваемых значениях х и у.

Рассмотрим вначале случай, когда f(x)≠0, r(y)≠0, получим уравнение

Интегрируя, находим общее уравнение в виде

Отдельно рассматривается случай, когда имеет место хотя бы одно из равенств f(x)=0, r(y)=0.