6.11 Вычисление интегралов вида
Рассмотрим
вычисление интегралов вида
при условии
(очевидно, что если имеет место равенство,
то под знаком корня дробь сократится,
и будет просто интеграл от дробно
рациональной функции).
Все, что здесь надо запомнить это то, какую замену переменных (подстановку) здесь нужно сделать, а именно
.
Дальше все идет само собой. Выражаем х через t
,
,
,
и самое неприятное корень исчез.
Далее имеем
.
Заметим, что
.
Окончательно получаем
,
и мы получили интеграл от дробно рациональной функции.
6.12 Вычисление интегралов вида
Рассмотрим теперь
вычисление интегралов вида
,
где т,
п,
и р
рациональные
числа.
Рассмотрим четыре возможных случая.
1. р целое положительное число.
Тогда следует
комбинацию
раскрыть по формуле
бинома Ньютона, раскрыть скобки и
проинтегрировать почленно.
2. р целое отрицательное число.
Вспомним, что т
и п
рациональные
числа. Это
значит, что они представимы в виде
.
Пусть r
есть наименьшее
общее кратное
чисел t1
и t2.
Тогда
.
Теперь сделаем
замену переменных
.
Тогда получаем
,
,
,
и рассматриваемый интеграл принимает вид
,
и степени у t всюду целые числа и мы получили интеграл от дробно рациональной функции.
3. Комбинация
целое
число.
Пусть
.
Тогда надо сделать следующую замену
переменных
(обратите внимание, откуда в показателе корня взялось это s!).
А теперь проделаем аккуратно все выкладки. Сначала выразим х через t:
;
.
Теперь найдем dx
и подставим все это в изучаемый интеграл
.
Но целое число! Все остальные степени также целые числа. Поэтому под знаком интеграла стоит дробно рациональная функция и интеграл вычисляется методом разложения подынтегральной функции на простейшие.
4. Комбинация
целое
число.
Пусть снова . Тогда надо сделать следующую замену переменных
.
А теперь проделаем аккуратно все выкладки. Сначала выразим х через t:
;
.
Дифференцируем последнее соотношение
.
Попытаемся
переписать подынтегральное выражение
так, чтобы в нем была явно видны комбинации,
равные
и t:
Заметим теперь, что
,
так что, продолжая предыдущую строку, получаем
.
Но целое число. Все остальные степени также целые числа. Поэтому под знаком интеграла стоит дробно рациональная функция и интеграл вычисляется методом разложения подынтегральной функции на простейшие.
Как показал знаменитый русский математик П.Л. Чебышёв, во всех остальных случаях рассматриваемый интеграл через элементарные функции не выражается.
6.13 Вычисление интегралов вида . Подстановки Эйлера
Рассмотрим теперь вычисление интегралов вида . Они находятся с помощью так называемых подстановок Эйлера. Вообще-то их три, но мы рассмотрим только две первую и третью.
Первая подстановка Эйлера
Эту подстановку
можно применять, если выполнено условие
.
Она имеет вид
.
Проделаем все вычисления, взяв, для определенности, знак +. Тогда
.
Возводим это выражение в квадрат
,
сокращаем
и выражаем в явном
виде х
через t:
.
Теперь можно
выразить через t
и комбинацию
.
Имеем
,
и корень исчезает. Далее,
и подстановка всего этого в исходный интеграл приводит его к виду
и под знаком интеграла стоит дробно рациональная функция от переменной t.
Третья подстановка Эйлера.
Условие применимости
этой подстановки: полином
имеет действительные
корни х1
и х2.
Сама третья подстановка Эйлера имеет вид
.
Покажем, что она
сводит наш интеграл к интегралу от
дробно рациональной функции. Так как
,
то
.
Отсюда находится х через t:
.
Для комбинации получаем
,
и корень исчезает. Легко получить, что
и рассматриваемый интеграл приводится к виду
,
и под знаком интеграла снова получилась дробно рациональная функция от переменной t.
Как видно из приведенных ниже рисунков, эти две подстановки исчерпывают все возможные случаи.
|
|
Применима первая подстановка Эйлера |
Применимы первая и третья подстановки Эйлера |
|
|
Применима третья подстановка Эйлера |
Подкоренное выражение всегда отрицательно, поэтому интеграл не имеет смысла. |
Заметим в заключение,
что если
,
то
и никаких иррациональностей нет.