6.9 Интегрирование дробно рациональных функций
Если под знаком интеграла стоит правильная рациональная дробь, то, после разложения ее на простейшие, мы получим интегралы следующих четырех типов:
(тип I),
(тип II),
(тип III),
и
(тип IV),
и если мы научимся вычислять эти интегралы, мы сможем найти интегралы от любых дробно рациональных функций.
Итак:
Тип I.
Делая замену переменных
,
,
получим:
.
Тип II. Делая замену переменных , , получим:
.
Тип III.
Имеем
.
Выделим в знаменателе полный квадрат
,
где
.
Тогда получаем
.
В первом интеграле
сделаем замену переменных
.
Тогда
.
Во втором интеграле, после той же замены переменных, получим
.
Сводя все вместе и упрощая, получим
,
что и дает явное выражение для интеграла третьего типа.
Тип IV. Мы не будем выводить выражение для интегралов этого типа оно очень громоздкое и носит рекуррентный характер. При желании, Вы можете найти его в справочниках или в более подробных курсах по математическому анализу. Для нас принципиальным является лишь то, что все эти интегралы выражаются через элементарные функции, и поэтому неопределенный интеграл от дробно рациональной функции всегда может быть вычислен (хотя и с большими трудностями).
6.10 Интегралы от тригонометрических функций
Основная идея всего дальнейшего свести изучаемые классы интегралов к интегралам от дробно рациональных функций. Это производится при помощи вполне определенных замен переменных, называемых далее подстановками. Поэтому дальнейшее изложение выглядит так: указывается подстановка, условия ее применимости и доказывается, что данная подстановка приводит рассматриваемый интеграл к интегралу от дробно рациональной функции.
Определение. Полиномом от двух переменных степени п называется выражение
(Обратите внимание, как индексы у коэффициентов а соотносятся со степенями х и y).
Пусть
два полинома от двух переменных. Функция
называется дробно рациональной функцией
двух переменных.
В этом разделе будут рассмотрены вопросы вычисления интегралов вида
.
Для их вычисления используют четыре подстановки.
Универсальная подстановка
Эта подстановка
имеет вид
.
Докажем, что она приводит рассматриваемый класс интегралов к интегралам от дробно рациональных функций. Имеем:
;
;
.
В результате рассматриваемый интеграл принимает вид
и он является интегралом от дробно рациональной функции, который вычисляется при помощи разложения на простейшие.
Упрощенные подстановки
Универсальная подстановка потому и называется универсальной, что позволяет любые интегралы рассматриваемого типа сводить к интегралам от дробно рациональных функций. Однако, получающиеся при этом интегралы обычно достаточно сложны. Поэтому ее следует использовать только в том случае, если нельзя применить так называемые упрощенные подстановки, к рассмотрению которых мы и переходим. Их всего три.
1. Условие применимости первой упрошенной подстановки имеет вид
.
Чтобы изложение
дальнейшего было короче, будем писать
u
вместо
и v
вместо
.
Тогда условие применимости первой
упрощенной подстановки примет вид
.
Но в нашей формуле,
определяющей функцию
и в числителе и в знаменателе стоят
полиномы по переменным и
и v.
Когда же функция
будет нечетной функцией по переменной
и?
Легко догадаться, что это будет тогда,
когда сомножитель и
можно вынести за скобки и, после этого,
в числителе и знаменателе останутся
лишь полиномы от переменной и2,
то есть тогда, когда функция
может быть приведена к виду
.
Это условие и определяет первую упрощенную подстановку. Она имеет вид
.
Тогда
и мы имеем
и мы получили интеграл от дробно рациональной функции.
2. Условие применимости второй упрошенной подстановки имеет вид
.
Повторяя почти
дословно все рассуждения, касающиеся
первой упрощенной подстановки, можно
получить, что в этом случае функция
может быть приведена к виду
.
Вторая упрощенная
подстановка имеет вид
.
Тогда
и мы имеем
=
и мы получили интеграл от дробно рациональной функции.
2. Условие применимости третьей упрошенной подстановки имеет вид
.
Попытаемся сообразить, что это дает относительно вида функции . Прежде всего имеем
.
Тогда условие применимости третьей упрощенной подстановки дает
.
Используя те же
рассуждения, что и выше, легко догадаться,
что второй аргумент у
должен содержать
только четные
степени v.
Поэтому
,
и
.
Это и определяет
третью упрощенную подстановку. Она
имеет вид
.
Действительно, в этом случае
,
,
,
и наш интеграл принимает вид
и мы получили интеграл от дробно рациональной функции.