6.7 Разложение рациональных дробей на простейшие
Пусть
и
есть полиномы действительной переменной
х.
Функция вида
называется дробно
рациональной функцией, или,
короче, рациональной
дробью. Если
,
то рациональная дробь называется
правильной.
Если
,
то можно всегда поделить столбиком и
представить рациональную дробь в виде
.
Теорема
1. Пусть
правильная рациональная дробь и b
есть действительный корень полинома
кратности
k,
то есть
,
.
Тогда имеет
место разложение
,
где
,
а
полином такой степени, что второе
слагаемое есть правильная рациональная
дробь.
Доказательство.
Возьмем
и рассмотрим разность
.
,
то есть b есть корень
полинома
.
Пусть его кратность равна s.
Тогда
,
и
,
что и требовалось доказать.
Следствие.
Продолжая разложение дальше, получим
.
Некоторые из
могут быть равны нулю, но
.
Теорема 2.
Пусть есть правильная рациональная
дробь и b есть
комплексный корень полинома
кратности ,
то есть
.
Тогда
имеет место разложение
,
где , а полином такой степени, что второе слагаемое есть правильная рациональная дробь.
Доказательство.
Рассмотрим
и постараемся
подобрать М
и N
так, чтобы выполнилось условие
.
Так как b
есть комплексный
корень, то
и
.
Тогда из нашего условия получим
.
Приравнивая мнимые части этих выражений, получим
,
откуда однозначно определяется М
.
Приравнивая действительные части этих выражений, получим
,
откуда, зная М, можно однозначно определить и N:
.
Таким образом, М и N определяются однозначно.
Но теперь у полинома
будет пара комплексно
сопряженных корней b
и
некоторой кратности s.
Поэтому
и мы получим
,
что и требовалось доказать.
Следствие.
Продолжая разложение дальше, получим
.
Опять таки, некоторые
из
и
могут быть
равны нулю.
Общий вид разложения.
Пусть и есть правильная рациональная дробь. Тогда имеет место разложение
.
Это представление называется разложением правильной рациональной дроби на простейшие.
Заметим в заключение,
что некоторые
из коэффициентов
,
и
могут быть
равны нулю.
6.8 Нахождение коэффициентов в разложении правильной рациональной дроби на простейшие
Имеются два способа нахождения коэффициентов в разложении правильной рациональной дроби на простейшие.
Метод неопределенных коэффициентов
Мы разберем этот метод на примере.
Разложить на простейшие следующую рациональную дробь
.
Шаг 1. Пишется разложение рациональной дроби на простейшие с неопределенными коэффициентами.
В данном случае, в полиноме, стоящем в знаменателе, имеется вещественный корень 1 кратности 2, и пара комплексно сопряженных корней кратности 1. Поэтому
.
Шаг 2. Написанное выражение привести к общему знаменателю
.
Шаг 3. В числителе раскрыть скобки так, чтобы неизвестные коэффициенты стояли бы перед некоторыми полиномами от х:
.
Шаг 4. Приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х в полиноме, стоящем в числителе исходного выражения, и в полиноме, стоящем в числителе полученного выражения. Имеем:
Шаг 4. Решить получившуюся систему линейных алгебраических уравнений (как это делать учат и в школе и в курсе алгебры) В данном случае, решение дает
,
так что окончательно
.
Этот метод достаточно трудоемок, но зато всегда приводит к результату.
Метод вычеркивания
Вспомним еще раз терему 1. Там было
и, в частности, была явная формула для коэффициента А:
.
Именно эта формула
и дала название «метод вычеркивания».
Ее формулируют обычно так: чтобы найти
коэффициент при
надо в исходном
выражении вычеркнуть
в знаменателе сомножитель
и в оставшемся
выражении заменить х
на b.
Пример.
Разложить на простейшие
.
Согласно сформулированному правилу имеем
;
;
,
так что
.
Однако отметим, что так можно находить не все коэффициенты, а лишь коэффициенты при старших степенях вещественных корней.
Комбинирование
Рекомендуется комбинировать метод вычеркивания и метод неопределенных коэффициентов и часть коэффициентов методом вычеркивания, а оставшиеся методом неопределенных коэффициентов.
Рассмотрим это на том примере, который мы рассматривали в методе неопределенных коэффициентов:
.
Здесь коэффициент
можно найти методом вычеркивания
.
Оставшиеся коэффициенты надо находить методом неопределенных коэффициентов. Знание приведет к тому, что нам надо будет решать систему только из трех уравнений, а не четырех, причем из получающейся системы четырех уравнений мы можем выбрать любые три по нашему вкусу.