6.6 Разложение полиномов (многочленов) на сомножители
Выражение
,
называется полиномом
или многочленом от переменной z
степени п.
Полином степени 0
это константа (
).
В дальнейшем мы
будем считать, что переменная
комплексная,
а коэффициенты
действительные
числа.
Пусть
есть полином от переменной z
степени т<п.
Тогда имеет место представление
,
где полином
(его степень равна
)
называется частным
полиномов
и
,
а полином
остатком от
деления
на
.
Степень остатка не
выше
.
Обычно операция деления осуществляется
столбиком, и как это делать
учат в школе.
Если
,
то говорят, что полином
делится на
.
Корни полинома
Определение.
Число b
(действительное или комплексное)
называется корнем
полинома
,
если
.
Теорема
1. Для того, чтобы b
было корнем полинома
,
необходимо и достаточно, чтобы
делилось на
.
Доказательство.
По сказанному выше, имеем
,
где с полином степени 0, то есть константа. Тогда
1. Если b
есть корень
,
то
,
откуда следует,
что
и
делится на
.
2. Если
делится на
,
то
и тогда
,
то есть b
корень полинома
.
Теорема
2. Пусть корень полинома b
есть комплексное число. Тогда комплексно
сопряженное число
также является корнем этого полинома.
Доказательство.
1. Докажем
сначала, что
.
Имеем
,
,
.
С другой стороны
,
.
2. Так как по
условию все коэффициенты полинома есть
действительные числа, то
.
3. Поэтому, если
,
то
и
также есть корень
полинома
.
Таким образом,
комплексные корни полинома всегда
«ходят парами»: если
есть корень, то
тоже корень.
Основная теорема алгебры. Всякий полином степени п 1 имеет хотя бы один корень (действительный или комплексный).
Доказывать эту теорему мы не будем все-таки это курс математического анализа, а не алгебры.
Теорема 3. Полином степени п имеет ровно п корней.
Доказательство.
Рассмотрим полином
.
Тогда, по основной
теореме алгебры,
такое, что
и поэтому имеет место разложение
.
Рассмотрим полином
.
Тогда, по основной
теореме алгебры,
такое, что
и поэтому имеет место разложение
.
Рассмотрим полином
.
Тогда, по основной
теореме алгебры,
такое, что
и поэтому имеет место разложение
.
И т.д., и т.д., и т.д.
Заметим, что каждый раз степень полинома уменьшается на 1. В конце концов, на п-м шаге мы дойдем до полинома степени 0 и получим такое разложение
.
Других
корней у
этого полинома нет,
так если z
не совпадает с каким-то из
,
то все сомножители вида
отличны от нуля и
.
Определение.
Если в
разложении
на сомножители бином
повторяется k
раз, то говорят, что корень b
имеет кратность
k.
Если k = 1, то корень называется простым.
Заметим еще, что в паре комплексно сопряженных корней оба корня имеют одинаковую кратность.
Разложение полинома на сомножители
Теперь мы можем
окончательно решить вопрос о разложении
полинома на сомножители. Рассмотрим
полином
.
Пусть он имеет действительные
корни
с кратностями
соответственно. Далее, пусть он имеет
пары комплексно
сопряженных корней
,
,
… ,
с кратностями
соответственно. Заметим, что при этом
выполняется условие
.
Откажемся от комплексной переменной z, и будем рассматривать наш полином как функцию действительной переменной х. Тогда имеет место разложение
.
Рассмотрим пару
,
.
Для нее имеем
.
Обозначим
,
.
Тогда
.
Заметим, что в этом
случае должно выполняться условие
.
Тогда полином
можно представить в виде
.
(*)
Сомножитель
соответствует действительному корню
кратности
;
сомножитель
паре комплексно сопряженных корней
кратности
.
Это разложение полинома на сомножители является для дальнейшего основным. Всюду далее будет предполагаться, что все корни полинома найдены и он разложен на сомножители вида (*).