6.5 Комплéксные числа

В математике большую роль играют так называемые обратные операции, необходимость выполнения которых обычно приводит к расширению классов имеющихся математических объектов.

Например, операция сложения. Когда-то люди не знали отрицательных чисел. Складывая положительные числа, в ответе всегда получаем положительное число. Но обратная операция  вычитание  привела к необходимости рассматривать числа отрицательные.

Операция умножения. Перемножая целые числа, в ответе всегда получаем также целое число. Обратная операция  деление  приводит нас к необходимости рассматривать дробные, рациональные числа.

Операция возведения в квадрат. Квадрат рационального числа есть всегда также число рациональное. Но обратная операция  извлечение квадратного корня  приводит к иррациональным числам ( , например), то есть к числам, не являющимся рациональными.

Но та же операция извлечения квадратного корня дает и еще один класс чисел. Как известно, квадрат любого числа есть число неотрицательное. Поэтому и квадратный корень можно извлекать только из неотрицательных чисел (например, ). А как быть с ? Чему он равен? Ведь нет такого вещественного числа, квадрат которого был бы равен  9.

Но, как говорится, если нельзя, но очень хочется  то можно. И желание извлекать квадратные корни из отрицательных чисел привело к новому классу чисел, называемых комплéксными числами. Для их рассмотрения оказалось достаточным ввести всего лишь одно новое число

,

которое называется «мнимой единицей». Считается, что это «число» обладает всеми свойствами обычных чисел, и имеет всего одно единственное новое свойство

.

Так что, например, , ибо . Числа, содержащие i, называются комплéксными числами. Без них немыслима современная математика.

Алгебраическая форма комплексных чисел

Пусть х и у  обычные вещественные числа. Число вида

называется комплексным числом в алгебраической форме.

х называют действительной частью числа z, и обозначают так: . у называют мнимой частью числа z и обозначают так: . Если , то число называют действительным числом; если , то число называют мнимым числом.

Число называется числом, комплексно сопряженным числу z. Действует следующее общее правило: чтобы получить число, комплексно сопряженное данному числу, надо в нем заменить i на i.

Рассмотрим операции над комплексными числами в алгебраической форме. Пусть даны два комплексных числа и .

Равенство и сравнение комплексных чисел

Два комплексных числа считаются равными, если у них равны действительные части и мнимые части:

.

Но вот операции типа «больше» и «меньше» доя комплексных чисел не имеют смысла , то есть бессмысленно писать или . Совершенно непонятно, что больше: или . Комплексные числа не упорядочены.

Сложение и вычитание комплексных чисел

Сложение и вычитание двух комплексных чисел определяются совершенно естественно

,

то есть надо сложить (или вычесть) отдельно действительные и мнимые части.

Умножение комплексных чисел

Умножение двух комплексных чисел также чисел также определяется совершенно естественно. Надо лишь помнить, что :

.

Деление комплексных чисел

Для деления комплексных чисел полезно запомнить следующее правило: чтобы разделить два комплексных числа друг на друга надо числитель и знаменатель умножить на число, комплексно сопряженное знаменателю:

,

где учтено, что . Заметим, что при делении двух комплексных чисел снова получается комплексное число.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел

Пусть имеется комплексное число .

Возьмем на плоскости декартову систему координат и комплексному числу z поставим в соответствие точку на этой плоскости с координатами . Таким образом, геометрически комплексные числа  это точки на плоскости (вспомните, что вещественные числа  это точки на числовой оси). Саму плоскость называют плоскостью комплексного переменного.

Тригонометрическая форма комплексных чисел

С геометрической интерпретацией связана и еще одна форма записи комплексных чисел, называемая тригонометрической формой.

Соединим точку с началом координат отрезком прямой. Длина этого отрезка r называется модулем комплексного числа z и обозначается как или .

Угол , который этот отрезок образует с осью абсцисс, называется аргументом комплексного числа z и обозначается как . Он определяется с точностью до слагаемого .

Из рисунка видно, что имеет место соотношение , . Отсюда следует, что , . Таким образом, мы можем записать , или

.

Эта форма записи и получила название комплексного числа в тригонометрической форме.

Рассмотрим операции над комплексными числами в тригонометрической форме. Пусть имеется два комплексных числа и .

Равенство чисел

Два комплексных числа и считаются равными, если и ,

Умножение комплексных чисел

Имеем

.

Таким образом, при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы  складываются.

Деление комплексных чисел

Имеем

.

Таким образом, при перемножении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы  вычитаются.

Возведение в степень

Пусть . Тогда, согласно сказанному выше,

,

то есть при возведении в степень модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на нее.

Отметим частный случай этой формулы. При получаем

.

Эта формула называется формулой Муавра.

Извлечение корней

Полученный выше результат позволяет вывести алгоритм извлечения корней из комплексных чисел.

Пусть имеется комплексное число . Что понимать под ?

Для ответа на этот вопрос вспомним прежде всего, что аргумент комплексного числа определяется с точностью до то есть

,

Допустим, что есть также комплексное число . Но тогда должно иметь место соотношение , или

.

Отсюда получаем, что , , или , . Таким образом

.

Заметим, что разные значения получаются лишь для , далее все повторяется. Таким образом, корень п-й степени из комплексного числа имеет ровно п различных значений.

Рассмотрим два примера.

Пример 1. Пусть надо найти . Как видно из рисунка, , , то есть

.

По приведенной выше формуле

.

Беря , получим . Беря , получим . Легко проверить, что квадраты этих чисел равны i.

Пример 2.

Пусть надо найти . Как видно из рисунка, , , так что . По приведенной выше формуле

.

Беря получим

и, кроме всем известного результата , получились еще два числа, кубы которых также равны 1, что легко проверить непосредственным вычислением.

Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа

Вспомним ряды Тейлора

,

,

.

Далее заметим, что , , и далее все повторяется.

Найдем теперь . Имеем

.

Мы получили знаменитую формулу Эйлера

.

Полезно помнить некоторые следствия из этой формулы. Заменяя в ней i на i, получим

.

Складывая и вычитая эти две формулы, получим

, .

Вспоминая гиперболические функции, можем записать:

, ,

что говорит о родстве этих функций.

Вернемся к комплексным числам. Имеем

,

что и дает так называемую показательную форму комплексного числа. Так как аргумент  определяется с точностью до слагаемого , то, в общем случае,

, .

Эта формула позволяет определить логарифм комплексного числа:

, .

Заметим, что логарифм  бесконечнозначная функция.

В частности, , , так как и .