Глава 6. Неопределенный интеграл
6.1 Первообразная
Определение 1.
Функция
называется первообразной
функции
,
если
.
Пример.
Рассматриваемый
ниже пример очень важен для дальнейшего.
Пусть
.
Утверждается, что в этом случае
первообразная
.
Проверяем:
Пусть
.
Тогда
и
.
Пусть теперь
.
Тогда
и
,
так что всегда
.
Теорема.
Если
и
две первообразные от одной и той же
функции
,
то
.
Доказательство.
Действительно, в
этом случае
и поэтому,
согласно условия постоянства функции,
.
Следствие.
Если
есть одна из первообразных функции
,
то любая другая первообразная имеет
вид
.
Определение
2. Совокупность
всех первообразных функции
называется неопределенным
интегралом от
и обозначается
.
Таким образом
где есть любая из первообразных функции .
Термины.
подынтегральная функция;
подынтегральное
выражение.
6.2 Свойства неопределенного интеграла
1. 
.
Действительно,
если
,
то
.
2. 
Действительно,
.
Подытоживая эти
два свойства можно сказать, что стоящие
рядом знаки d
и
взаимно
уничтожаются,
то есть операция дифференцирования и
операция интегрирования есть взаимно
обратные операции.
3. 
.
Действительно,
пусть
и
.
Но тогда
и поэтому
.
4. 
.
Действительно,
пусть
.
Но тогда
и поэтому
.
6.3 Таблица неопределенных интегралов
Ниже приводится таблица неопределенных интегралов которая, по сути дела, является переписанной «наоборот» таблицей производных.
1. |
6. |
2. |
7. |
|
8. |
3. |
9. |
4. |
10 |
|
11. |
5. |
12. |
,
Эту таблицу следует зазубрить.
6.4 Основные приемы интегрирования
В отличие от проблемы вычисления производных, где жесткие формальные правила позволяют, в принципе, вычислить производную от любой элементарной функции, в проблеме вычисления интегралов таких жестких формальных правил нет. Есть только некоторые приемы, но успех их применения очень сильно зависит от опыта и интуиции. Дело осложняется тем, что имеется огромное количество так называемых «неберущихся» интегралов, то есть таких интегралов, которые не выражаются через элементарные функции и носят название элементарных функций.
Тем не менее, укажем два основных приема.
Замена переменных
Пусть надо вычислить
.
Перейдем от переменной х
к переменной t
по формуле
,
так что
.
Тогда
и мы получаем
.
Пусть нам каким-то
способом удалось вычислить последний
интеграл и он оказался равен
,
то есть
.
Тогда утверждается, что
.
Докажем это. Итак
1.
.
Это значит, что
.
2. Найдем
производную от
.
Вспоминая формулу
производной от сложной функции, а затем
формулу производной от обратной функции,
получим
,
так как сомножители
сокращаются, а
.
Следовательно,
.
Эта формула является основным методом вычисления неопределенных интегралов. Ее пишут в виде цепочки
.
Обратите внимание на основные этапы работы.
1. Вводим (как Вы его введете это Ваше дело).
2. Находим заранее .
3. Вычисляем интеграл (как Вы это сделаете Ваши проблемы).
4. Возвращаемся к исходному интегралу .
Как Вы видите рекомендации достаточно общие.
Интегрирование по частям
Пусть даны две
дифференцируемые функции
и
.
Тогда, по свойствам дифференциалов,
.
Интегрируя это
соотношение, получим
.
Отсюда следует, что
.
Эта формула и носит название формулы интегрирования по частям.
Пример.
Пусть надо вычислить
интеграл
.
Разбиваем
подынтегральное выражение на кусочки
,
.
Отсюда получается, что
,
.
Формула интегрирования по частям дает
тогда
.
Как уже говорилось выше, четких и однозначных алгоритмов вычисления неопределенных интегралов нет и не может быть, так как имеется огромное число так называемых неберущихся интегралов, то есть таких интегралов, которые не выражаются через элементарные функции и представляют собой класс так называемых специальных функций. Однако имеются определенные классы функций, для которых алгоритмы вычисления интегралов могут быть четко сформулированы. К изучению этих классов функций мы и переходим. Но, прежде чем приступить к их изучению, придется сделать небольшое, но очень важное отступление.