2.13 Свойства предела функции

Предельное значение функции обладает теми же свойствами, что и пределы последовательности, в частности

1. 

2. 

3. 

4. если

5. Если и , то в некоторой окрестности ограничена

6. Если то .

Докажем, например, свойство 3. Берем любую последовательность у которой . Для нее верно соотношение

.

Но так как это верно для любой последовательности с указанным свойством, то, по только что доказанной теореме, верно и свойство

.

Остальные свойства доказываются аналогично.

2.14 Предел монотонной функции

Определение. Функция называется

 монотонно возрастающей, если из

 строго монотонно возрастающей, если из

 монотонно убывающей, если из

 строго монотонно убывающей, если из .

Докажем одну из возможных здесь теорем.

Теорема. Если монотонно возрастает и ограничена сверху при , то существует конечный предел слева .

Доказательство.

Рассмотрим множество значений функции при . По условию теоремы, это множество ограниченно сверху, то есть . По теореме о существовании супремума отсюда следует, что существует конечный .

Покажем, что . По свойствам супремума

1. ;

2. .

Обозначим . Возьмем любое , для которого , но . Как видно из рисунка, из этого следует, что . Но тогда, в силу монотонности ,

а) ,

б) .

Поэтому имеем

Выбрасывая лишнее, получим, что

или, что то же самое, . По определению предела функции это означает, что . 

Аналогичные теоремы можно сформулировать и доказать также для монотонно убывающих функций, а так же для пределов слева.

2.15 Признак БольцаноКоши для функции

Теорема. Для того, чтобы существовал конечный предел необходимо и достаточно чтобы

.

Доказательство.

Необходимость. Пусть существует конечный предел . Это значит, что

.

Но тогда имеем

что и сказано в условии теоремы.

Достаточность. Достаточность будем доказывать сводя этот признак к случаю признака БольцаноКоши для последовательности.

1. Сведение к пределу последовательности

Итак, пусть

Возьмем любую последовательность , сходящуюся к а, то есть у которой . Это значит, что

.

Но тогда будут выполнены условия , и получится, что . Итак, получилось, что

.

По признаку БольцаноКоши для последовательности, отсюда следует, что существует конечный .

2. Независимость от выбора последовательности.

Возникающая здесь трудность заключается в том, что значение предела b может зависеть от выбора последовательности . Покажем, что этого не может быть.

Пусть имеется последовательность для которой также верно, что , но .

Составим «cмешанную» последовательность вида

.

Так как и и то ясно, что . Тогда теми же рассуждениями, что и в п. 1 показывается, что существует .

Но и и есть подпоследовательности последовательности , а как показано выше, любая подпоследовательность сходится к тому же пределу, что и исходная последовательность. Поэтому

отсюда и следует, что .

Независимость от вида последовательности и говорит о том, что . 

2.16 Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших величин.

Определение. Функция называется бесконечно малой величиной при если .

Пусть имеются две бесконечно малые величины и . Тогда возможны следующие варианты:

1. Существует и .

В этом случае говорят, что бесконечно малые величины и имеют одинаковый порядок малости и обозначают это так: или, что то же самое, (символ читается «О большое»)

2. или, что то же самое, .

В этом случае говорят, что имеет более высокий порядок малости, чем и обозначают это так: (символ « » читается «о малое»)

3. не существует.

В этом случае говорят, что бесконечно малые и несравнимы.

Для стандартизации вводят стандартную бесконечно малую величину . Пусть при некотором существует и . В этом случае говорят, что является бесконечно - малой -го порядка и записывают это так

.

Выражение называют главным членом .

Определение. Функция называется бесконечно большой при если .

Пусть и две бесконечно большие величины. Тогда возможны следующие варианты.