4. Алгоритмический способ.
В этом случае соответствие задается в виде некоторого алгоритма, позволяющего находить по .
Например:
а) выписать
в виде бесконечной десятичной дроби.
Например
;
б) выписать без изменения знак и те цифры которые стоят до запятой;
в) после запятой выписать первую, третью, пятую и так далее, т.е. вообще цифры с нечетными порядковыми номерами.
Это и определит значение . Вряд ли это правило может быть легко записано в виде формул.
2.11 Предел функции.
Определение.
Число b
называется пределом или предельным
значением функции
при
стремящимся к
(обозначение:
,
)
если
.
Это понятие предела также связано с идеей движения. В этом случае движение отражается в том, что при изменении аргумента x изменяется значение функции. Понятие предела возникает при определенном типе такого движения - когда аргумент приближается к a, то значения функции приближается к b.
Приведем без комментариев некоторые варианты этого определения
а)
это значит, что
;
б)
это значит, что
;
в)
это значит, что
;
г)
это значит, что
;
д)
это значит, что
.
Вариантом этого определения являются так называемые односторонние пределы.
Определение.
Число b
называется пределом или предельным
значением
при
справа (обозначение
)
если
.
Число
b
называется пределом или предельным
значением
при
слева (обозначение
)
если
.
Напишите сами
определение
и
.
2.12 Связь понятий предел функции и предел последовательности
Между понятиями «предел функции» и «предел последовательности» существует связь, которая дается нижеследующей теоремой.
Теорема. Для
того, чтобы существовал
необходимо и достаточно, чтобы для
любой
последовательности
,
у которой
выполнялось условие
.
Доказательство.
Необходимость. Пусть . Это значит, что
.
Возьмем любую последовательность у которой . Это значит, что
.
(Обратите внимание, какая буква написана после квантора и где стоит эта же самая буква в предыдущей формуле!)
Совершим «прогулку» по этим выражениям по следующему маршруту:
> 0 >0 N n > N | xn a |< | x a|< | f(x) b | < .
Оставляя только подчеркнутые куски и заменяя в последних выражениях х на хn, получим
,
что и говорит о том, что .
Достаточность. Докажем достаточность методом «от противного».
Прежде всего напомним, как пишется противоположное утверждение для строчки кванторов. Здесь действует следующее правило: чтобы написать противоположное утверждение, надо сделать следующее:
1. заменить квантор на квантор , и наоборот, квантор на квантор ;
2. последнее утверждение заменить на противоположное.
А теперь приступим к доказательству. Итак
Надо доказать:
.
Противоположное утверждение имеет вид
.
Сведем это утверждение к противоречию.
Берем то
> 0, которое «существует». Далее, возьмем
последовательность
такую, что
,
.
Тогда, согласно противоположному утверждению,
для 1
существует х1
такое, что
,
но
;
для 2
существует х2
такое, что
,
но
;
для 3
существует х3
такое, что
,
но
;
и вообще
для n
существует хn
такое, что
,
но
.
В результате получается некоторая последовательность . Что хорошего можно о ней сказать?
1. так как, по
построению n
и
,
то
;
2. но n
.
Поэтому
!
(Заметим, что этот предел может и вообще
не существовать).
Но это противоречит условию «для любой последовательности», которое стоит в формулировке теоремы. Это и доказывает достаточность.