3. Сходимость получившейся подпоследовательности

Так как и то по теореме «о двух милиционерах» .

Часть 2. Слова «неограниченная последовательность» означают, что .

Возьмем последовательность такую, что

и .

Но тогда для любого A_k существует такое , что . Кроме того, так как в последовательности {x_n} бесконечно много членов, всегда можно добиться того, что будет n_k > n_k1. В результате получится подпоследовательность , обладающая тем свойством, что k . Но тогда

,

откуда и следует, что , то есть, что  бесконечно большая последовательность.

2.9 Признак БольцаноКоши для последовательности

Признак БольцаноКоши.

Для того, чтобы последовательность сходилась к конечному пределу, необходимо и достаточно, чтобы

.

Последовательность, удовлетворяющая этому условию называется «фундаментальной последовательностью» или последовательностью, «сходящейся в себе».

Доказательство.

Необходимость. Пусть существует конечный . Это значит, что

.

Но тогда

,

что и утверждается в условии теоремы.

Достаточность. Доказательство достаточности гораздо сложнее. Разобьем его на несколько частей.

1. Доказательство ограниченности последовательности.

Итак, пусть . Зафиксируем . Тогда

.

Рассмотрим

,

.

Тогда очевидно, что и последовательность ограниченна.

2. Выделение сходящейся подпоследовательности

Ссылаясь на лемму БольцаноВейерштрасса выделим из нашей последовательности подпоследовательность которая сходится к конечному пределу .

3. Доказательство того, что вся последовательность сходится к тому же пределу

Так как , то .

По условию леммы .

Возьмем . Тогда , взяв произвольное , получим

,

что и говорит о том, что . 

Признак БольцаноКоши имеет более теоретическое, чем практическое значение. Однако на его основе строится целый ряд рабочих признаков сходимости для целого ряда математических объектов.

2.10 Функция и способы ее задания

Пусть имеются две вещественные оси и . Пусть на оси выбрано некоторое множество . Правило, которое каждому значению ставит в соответствие некоторое число , называется функцией одной переменной и обозначается .

Множество , где такое определение имеет смысл, называется областью определения функции. Однако, при доказательстве различных теорем в качестве множества мы будем брать только какую-то часть области определения. Эту часть мы будем называть областью задания функции.

Способы задания функции.

1. Аналитический способ.

В этом случае функция задается в виде одной или нескольких формул, описывающих правило, устанавливающее соответствие . Например

,

2. Графический способ.

В этом случае оси и располагаются перпендикулярно друг другу так, что они образуют декартову систему координат. Соответствие для каждого определяет некоторую точку на плоскости . Совокупность этих точек образует некоторую кривую на плоскости , которая называется графиком функции. Если нарисован график функции, то тем самым задано и правило, определяющее соответствие .

3. Табличный способ.

x y 0 0 1 1 2 4 3 9 4 16 5 25 … …

В этом случае функция задается в виде таблицы, в одном из столбцов которой пере­числены значения аргумента , а в другом указаны соответствующие значения . Конечно, в одной таблице перечислить все значения аргумента невозможно, но какое-то представление о виде соответствия такая таблица обычно дает.