1. Если последовательность сходится, то любая ее подпоследовательность тоже сходится к тому же самому пределу.

2. Если последовательность , то любая ее подпоследовательность тоже бесконечно большая.

Доказательство.

1. В данном доказательстве будет использован формальный прием преобразования строчек кванторов, который необходимо освоить, так как в дальнейшем он будет часто использоваться.

Итак, пусть исходная последовательность сходящаяся. Имеем

 ,

 .

Совершим «прогулку» по этим строкам кванторов по следующему маршруту

>0  N  N  s k>s  n_k>N  n_k>N  |x_na|<

указанному стрелками. Тогда комбинация кванторов «взаимно уничтожается». Оставляя лишь подчеркнутые кванторы, получим

,

что по определению означает, что .

2. Пусть теперь исходная последовательность бесконечно большая. Тогда имеем

{x_n}  б.б.п.  ,

 .

Совершим «прогулку» по этим строкам кванторов по следующему маршруту

А > 0  N N  s k>s  n_k>N  n_k>N  |x_n| > A.

Оставляя лишь подчеркнутые кванторы, получим

,

откуда, по определению, и следует, что  б.б.п. 

А теперь знаменитая

лемма Больцано - Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.

Из любой неограниченной последовательности можно выбрать бесконечно большую подпоследовательность.

Доказательство.

Часть 1. При доказательстве этой леммы использован широко применяемый прием  «деление отрезка пополам».

Итак, пусть некоторая последовательность ограничена, то есть . Это означает, что все члены последовательности лежат на отрезке .

1. Построение стягивающей системы отрезков.

Разделим отрезок пополам точкой . Мы получим два отрезка и . Так как на всем отрезке имеется бесконечно много членов последовательности, то хотя бы на одной половине также будет бесконечно много членов последовательности. Оставим для дальнейшего рассмотрения эту половину (если на обеих половинах бесконечно много членов последовательности, то оставим любую из них), и назовем ее отрезком .

Разделим отрезок пополам. Мы получим два отрезка и . Так как на всем отрезке находиться бесконечно много членов последовательности, то хотя бы на одной половине также находится бесконечно много членов последовательности. Оставим для дальнейшего рассмотрения эту половину и назовем ее отрезком .

Разделим отрезок пополам. Так как на всем отрезке находиться бесконечно много членов последовательности, то ....

Продолжим эту процедуру до бесконечности. В результате мы получим систему отрезков , , , …, которые характеризуются тем, что

а) на каждом из них имеется бесконечно много членов последовательности;

б)

в) .

По лемме о вложенных отрезках отсюда следует, что

2. Выделение подпоследовательности

Рассмотрим отрезок и возьмем любой член последовательности .

Рассмотрим отрезок и возьмем любой член последовательности . Так как на бесконечно много членов , то всегда можно выбрать .

Рассмотрим отрезок и возьмем любой член последовательности . Так как на бесконечно много членов , то всегда можно выбрать .

Рассмотрим отрезок и возьмем …

Продолжая эту процедуру до бесконечности, получим подпоследовательность такую, что .