1. И сходящиеся последовательности;

2.  ;

3.  .

Тогда также сходящаяся последовательность и .

Доказательство

 или

 или

Беря и учитывая, что можно записать

.

Выбрасывая лишнее, получим что

или ,

что и говорит о том, что . 

Эту теорему часто называют «теоремой о двух милиционерах» ( ,  милиционеры,  преступник, которого они «берут в клещи»)

2.5 Предел монотонной последовательности

Определение. Последовательность называется

 монотонно возрастающей (неубывающей), если ;

 строго монотонно возрастающей (неубывающей), если ;

 монотонно убывающей (невозрастающей), если ;

 строго монотонно убывающей (невозрастающей), если ;

Монотонно возрастающие последовательности обозначают символом , монотонно убывающие - символом .

Сейчас докажем одну из важнейших теорем.

Теорема

1. Если последовательность монотонно возрастает и ограниченна сверху, то она сходится к конечному пределу;

2. Если последовательность монотонно возрастает, но неограниченна сверху, то .

Доказательство.

Часть 1. Пусть ограниченны сверху, то есть такое, что . Тогда, согласно теореме о существовании супремума мы можем утверждать, что .

Вспомним свойства . Их было два

1. ;

2. .

Но учтем теперь что . Это значит, что . Тогда имеем следующую цепочку неравенств .

Выбрасывая лишнее, получим, что или , что и говорит о том, что .

Заметьте, что предел равен как раз супремуму множества .

Часть 2. Пусть теперь неограниченна сверху. Это значит, что .

Но . Значит, и поэтому можно записать . Выбрасывая в этом неравенстве , получим окончательно

,

что и говорит о том, что . 

2.6 Лемма о вложенных отрезках

Определение 1. Множество, элементами которого являются отрезки, называется системой отрезков.

Определение 2. Система замкнутых отрезков называется стягивающей, если

1. то есть каждый последующий отрезок расположен внутри предыдущего;

2. , то есть длины отрезков стремятся к нулю.

Возникающая ситуация изображена на рисунке

Лемма о вложенных отрезках

Для любой системы замкнутых стягивающихся отрезков существует единственная точка, принадлежащая всем отрезкам.

Доказательство.

1. Рассмотрим множество левых концов наших отрезков. Очевидно, что

а) ,

б) .

Поэтому, по предыдущей теореме, существует конечный .

2. Рассмотрим множество правых концов наших отрезков. Очевидно, что

а) ,

б) .

Поэтому существует конечный .

3. Так как по условию , то и, следовательно, .

Обозначим этот общий предел через :

4. Так как а , то, очевидно, что , то есть точка ; (она принадлежит всем отрезкам сразу)

5. Докажем, что точка единственная.

Предположим противное: что точка , такая что . Но тогда было бы, что , что противоречит тому, что .

Отметим одну деталь: мы доказали не только существование точки , принадлежащей всем отрезкам, но и то, что . Это будет нам надо в дальнейшем. 

2.7 Число

Прежде чем переходить к знаменитому в математике числу , дадим без вывода одну полезную формулу, которая называется биномом Ньютона.

Напомним, что (читается: n-факториал) есть произведение целых чисел от 1 до

.

По определению считается .

Выражение (читается из по )

.

называется биноминальным коэффициентом. Другое выражение для имеет вид

.

В частности , , и т.д.

Бином Ньютона имеет вид

или в более явном виде

.

Отсюда легко получаются известные из школьного курса выражения для , , и т.д.

Рассмотрим теперь последовательность с членами , .

1. Получим другое выражение для .

Используя формулу бинома Ньютона, получим .

=

.

2. Покажем, что .

Для этого запишем рядом и .

;

.

Так как , то , . Поэтому каждое слагаемое в больше соответствующего слагаемого в . Кроме того, в есть «лишнее» положительное слагаемое , которого не было в . Поэтому .

3. Покажем теперь, что ограничена сверху.

Действительно, так как , то

.

Но так как

,

,

и вообще , то и

,

где в процессе выкладок использована формула для суммы геометрической прогрессии.

Итак, монотонно возрастает и . Поэтому существует , который и называется числом е

.

Это число чрезвычайно популярно в математике и в дальнейшем будет постоянно встречаться.

2.8 Подпоследовательности

Пусть  некоторая последовательность.

Пусть есть также последовательность, у которой

а) все - целые положительные числа;

б) монотонно возрастает с ростом ;

в) .

Рассмотрим теперь последовательности вида , которая представляет собой «кусочек» исходной последовательности и которая получается из нее оставлением членов с номерами . Она называется подпоследовательностью последовательности .

Пример. Пусть . Рассмотрим последовательность {1, 4, 9, 16, 25, …}. Тогда {x₁, x₄, x₉, x₁₆, x₂₅, … }  подпоследовательность исходной последовательности .

Из многочисленных свойств подпоследовательности мы рассмотрим лишь два.

Теорема.