Откуда , .

Произведём расчёт необходимых значений в таблице 5.

Таблица 5 – Расчет необходимых значений

Год	Эмпирические уровни ряда (уi)	Условные обозначения времени (t)	t2	у  t		уi -	(уi - )2
1994	98	-4	16	-392	101,06	-3,06	9,3636
1995	97	-3	9	-291	94,49	2,51	6,3001
1996	86	-2	4	-172	87,92	-1,92	3,6864
1997	82	-1	1	-82	81,35	0,65	0,4225
1998	74	0	0	0	74,78	-0,78	0,6084
1999	71	1	1	71	68,21	2,79	7,7841
2000	65	2	4	130	61,64	3,36	11,2896
2001	58	3	9	174	55,07	2,93	8,5849
2002	42	4	16	168	48,5	-6,5	42,25
Итого	673	0	60	-394	673,02	-	90,2896

По итоговым данным определим параметры уравнения:

; .

Значение t² можно вычислить и другим путём. Для случая нечётного числа уровней ряда динамики используется формула:

.

В результате получаем следующее уравнение общей тенденции ряда динамики:

.

Подставляя в данное уравнение принятые обозначения t, вычислим выровненные (теоретические) уровни ряда динамики:

Для проверки расчёта значений используется формула:

.

В нашей задаче , следовательно, значения определены верно.

Полученные величины теоретических уровней ряда y_i нанесём на график (рисунок 2).

Рисунок 2 - Динамика длительности оборота оборотных средств за 1994 – 2002 гг.

Эта линия и есть графический образ общей тенденции изменения длительности оборота оборотных средств в 1994 – 2002 гг.

Здесь нет прогноза, прогноз смотрите ниже!!!

3. Имеются следующие данные о численности населения города за пять лет (на начало года):

Год	2004	2005	2006	2007	2008
Численность населения, тыс. чел.	72	78	83	87	90

Найдите: уравнение тренда и, используя его, определите численность в 2010г. (прогноз).

Решение.

Базой для прогнозирования, т.е. для определения ориентировочных размеров явлений в будущем, создает выявление и характеристика основной тенденции развития социально-экономических явлений во времени.

Основной тенденцией развития (трендом) называется плавное и устойчивое изменение уровней явления во времени, свободное от случайных колебаний.

Для того чтобы построить количественную модель, выражающую общую тенденцию изменения уровней динамического ряда во времени, используют аналитическое выравнивание ряда динамики.

Основным содержанием метода аналитического выравнивания в рядах динамики является то, что общая тенденция развития рассчитывается как функция времени:

,

где – уровни динамического ряда, вычисленные по соответствующему аналитическому уравнению на момент времени t.

Определение теоретических (расчетных) уровней производится на основе адекватной математической модели, которая наилучшим образом аппроксимирует (отображает) основную тенденцию ряда динамики.

Выбор типа модели зависит от цели исследования и должен быть обоснован в теоретическом анализе, выявляющем характер развития явления, а также в графическом изображении эмпирических (фактических) уровней ряда динамики (линейной диаграмме).

Общее представление о характере тенденции изменения численности населения города за период 2004 – 2008 гг. можно получить из графического изображения ряда динамики (рисунок 3.1).

Рисунок 3.1 - Динамика численности населения за 2004 – 2008 гг.

Из рисунка 3.1 видно, что для изучаемого периода времени (2004 – 2008 гг.) уравнение прямой достаточно полно отображает общую тенденцию развития явления. Выравнивание по уравнению прямой линии используется, как правило, в тех случаях, когда абсолютные приросты практически постоянны, т.е. когда уровни изменяются в арифметической прогрессии (или близко к ней).

В связи с этим, для нахождения уравнения тренда воспользуемся уравнением прямой, которое имеет следующий вид:

= а₀ + а₁x.

С пособ наименьших квадратов дает систему двух нормальных уравнений для нахождения параметров а₀ и а₁:

у = nа₀ + a₁t;

tу = a₀t + a₁t²,

где у – исходные (эмпирические) уровни ряда динамики,

n – число членов ряда,

t – обозначение времени.

Решение системы уравнений позволяет получить выражения для параметров а₀ и а₁:

В рядах динамики техника расчета параметров уравнения упрощается, если показателям времени t придают такие значения, чтобы их сумма была равна нулю, т.е. t = 0.

Т.к. число исходных (эмпирических) уровней ряда - нечётное (n = 5), это выполнимо при следующем условии:

,

где k – порядковый номер года (k = 1, 2, …);

n – число лет в периоде.

Тогда построим расчетную таблицу (таблица 3.1).

Таблица 3.1 – Расчет показателей времени

Показатель	2004	2005	2006	2007	2008
k	1	2	3	4	5
t	-2	-1	0	1	2

П ри условии, что t = 0, исходные нормальные уравнения принимают вид:

откуда , .

Произведём расчёт необходимых значений в таблице 3.2.

Таблица 3.2 – Расчет необходимых значений

Год	Эмпирические уровни ряда (уi)	Условные обозначения времени (t)	t2	у  t		уi -	(уi - )2
2004	72	-2	4	-144	64	8	64
2005	78	-1	1	-78	73	5	25
2006	83	0	0	0	82	1	1
2007	87	1	1	87	91	-4	16
2008	90	2	4	180	100	-10	100
Итого	410	0	10	45	410	-	206

По итоговым данным определим параметры уравнения:

; .

Значение t² можно вычислить и другим путём. Для случая нечётного числа уровней ряда динамики используется формула:

.

В результате получаем следующее уравнение общей тенденции ряда динамики:

.

Подставляя в данное уравнение принятые обозначения t, вычислим выровненные (теоретические) уровни ряда динамики:

Для проверки расчёта значений используется формула:

.

В нашей задаче , следовательно, значения определены верно.

Полученные величины теоретических уровней ряда y_i нанесём на график (рисунок 3.2).

Рисунок 3.2 - Динамика численности населения города за 2004 - 2008 гг.

Эта линия и есть графический образ общей тенденции изменения численности населения в 2004 – 2008 гг.

Для определения численность населения города в 2010 г. построим прогноз. Для определения прогнозных значений уровней ряда динамики на будущее используют метод экстраполяции.

Под экстраполяцией понимают нахождение уровней за пределами изучаемого ряда, т.е. продление в будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом (перспективная экстраполяция). Поскольку в действительности тенденция развития остается неизменной, то данные, получаемые путем экстраполяции ряда, следует рассматривать как вероятностные оценки.

Результат экстраполяции прогнозируемых явлений обычно получают не точечными (дискретными), а интервальными оценками, определяя так называемые доверительные интервалы прогноза.

Для определения границ интервалов используют формулу:

,

где - точечная (дискретная) оценка прогнозного значения уровня ряда динамики в момент времени t, стоящего за пределами исследованного ряда динамики;

- остаточное среднее квадратическое отклонение от тренда, скорректированное по числу степеней свободы (n-m):

,

n - число уровней ряда динамики;

m – число параметров модели тренда (для уравнения прямой m=2);

- коэффициент доверия по распределению Стьюдента при уровне значимости .

Зная точечную оценку прогнозируемого явления, определяют вероятностные границы интервала прогнозируемого явления:

.

Применяя выше приведенные формулы к нашей задаче, найдем прогнозную численность населения в 2010 году.

При условии, что n=5, m=2, число степеней свободы будет равно 3, α=5%, t_α = 3,182.

Точечная оценка прогнозной численности населения города на 2010 г.:

тыс.чел.;

Используя расчетные данные таблицы 3.2, получим:

тыс.чел.

Тогда прогнозная численность населения города в 2010 г.:

;

тыс.чел.

Таким образом, с вероятностью 95% можно ожидать, что в 2010 году численность населения города будет не менее 118,63 тыс. человек, но и не более чем 172, 37 тыс. человек.

4. По данным таблицы (приложение А) изучить зависимость между численностью аппарата управления предприятия (Чупр – признак фактор) и длительностью оборота оборотных средств (До) методом корреляционно-регрессионного анализа.

Рассчитать: коэффициент парной корреляции, ошибку коэффициента; коэффициент эластичности, детерминации. Построить уравнение регрессии и поле-корреляции. Сделать выводы.

Решение.

Показатель	1994	1995	1996	1997	1998	1999	2000	2001	2002
До, дни	98	97	86	82	74	71	65	58	42
Ч упр, чел.	26	36	46	57	56	81	84	90	93

Для построения уравнения регрессии воспользуемся уравнением прямой линии , которому соответствует следующая система нормальных уравнений:

Для определения параметров а и b по исходным данным необходимо вычислить

, , , .

Расчетная таблица для определения параметров уравнения регрессии представлена в таблице 7.

Таблица 7- Определение параметров уравнения регрессии

№ п/п	Численность аппарата управления предприятия, чел., х	Длительность оборота оборотных средств, дни, у	ху		,	,
1	26	98	2548	676	1377,152	539,6329	-862,065
2	36	97	3492	1296	734,9521	494,1729	-602,655
3	46	86	3956	2116	292,7521	126,1129	-192,145
4	57	82	4674	3249	37,3321	52,2729	-44,1753
5	56	74	4144	3136	50,5521	0,5929	5,4747
6	81	71	5751	6561	320,0521	14,2129	-67,4453
7	84	65	5460	7056	436,3921	95,4529	-204,095
8	90	58	5220	8100	723,0721	281,2329	-450,945
9	92	42	3864	8464	834,6321	1073,873	-946,725
Всего	568	673	39109	40654	4806,889	2677,556	-3364,78

Тогда

Следовательно, a = 118,955, b = -0,7 и уравнение регрессии имеет вид:

,

т.е. с увеличением численности аппарата управления предприятия на одного человека длительность оборота оборотных средств сокращается в среднем на 0,7 дня.

На основе исходных данных построим поле корреляции (рисунок 3).

Рисунок 3 – Поле корреляции

Как видно из рисунка 2, наблюдается прямолинейная зависимость, так как точки расположены практически по прямой линии.

Степень тесноты связи между признаками можно определить при помощи коэффициента корреляции:

– для малых выборок по формуле:

,

где r – коэффициент корреляции;

x, y – значения изучаемых признаков;

– средние значения признаков.

Расчеты, необходимые для вычисления коэффициента корреляции, занесены в таблицу 7. тогда коэффициент корреляции равен:

.

Поскольку коэффициент корреляции близок к единице (0,938), то связь между численностью аппарата управления предприятия и длительностью оборота оборотных средств тесная, однако имеет обратную направленность, т.к. коэффициент корреляции отрицательный.

Оценку достоверности коэффициента линейной корреляции исчислим по формуле:

,

где S_r – стандартная ошибка коэффициента линейной корреляции.

.

Зная стандартную ошибку S_r, можно определить фактический критерий достоверности (нормированное отклонение t_факт).

t_факт = 22,04.

По таблице t–Стьюдента необходимо установить значение t_табл при установленном уровне вероятности (p=0,95) и числе степеней свободы, равном 8, t_табл.= 2,3060. Т.к. t_факт> t_табл и заметно превосходит табличное значение 2,306, то связь между численностью аппарата управления предприятия и длительностью оборота оборотных средств следует признать значимой.

Квадрат коэффициента корреляции представляет собой коэффициент детерминации или причинности: r²=d. Он показывает, какая часть общей вариации результативного признака у объясняется изучаемым признаком-фактором х. Также коэффициент детерминации характеризует степень влияния признака-фактора на признак-результат.

Тогда, , т.е. на 87,965% вариация длительности оборота оборотных средств обусловлена различиями в численности аппарата управления предприятия и лишь на 22,035% влиянием прочих факторов.

Характеристикой относительного изменения признака-результата вследствие изменения признака-фактора является коэффициент эластичности, определяемый по формуле:

который показывает, на сколько процентов в среднем меняется результативный признак с изменением факторного на 1 %.

Тогда для нашей задачи,

Т.е. при изменении длительность оборота оборотных средств на 0,6% снижается численность аппарата управления предприятия на 1%.