7. Интегральные преобразования Фурье

Преобразование Фурье — операция, сопоставляющая функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие — гармонические колебания с разными частотами.

Преобразование Фурье функции   вещественной переменной является интегральным и задаётся следующей формулой:

Математический смысл преобразования Фурье состоит в представлении сигнала у(х) в виде бесконечной суммы синусоид вида F(v)sin(vx). Функция F(v) называется преобразованием Фурье или интегралом Фурье, или Фурье-спектром сигнала. Ее аргумент v имеет смысл частоты соответствующей составляющей сигнала. Обратное преобразование Фурье переводит спектр F(V) в исходный сигнал у(х).

Интегральные преобразования Фурье

Условие существования интеграла Фурье для функции f(x) - это Признак Дирихле-Жордана

Свойства преобразований Фурье

1)Взаимная однозначность:    Т.е. устанавливается взаимно-однозначное соответствие между классами функций оригиналов и их изображений

2)Линейность

3)Свойство свертки (аналог производной) Интегральный образ произведений двух функций, вообще говоря, не равен произведению образов этих функций, т.е.  Однако, каждое интегральное преобразование имеет операцию, которая, в некотором смысле играет роль произведения. Такая операция называется сверткой:  Для интегрального преобразования Фурье:

4)Преобразование производных. Мы методом интегральных преобразований Фурье будем решать уравнение теплопроводности:  Выясним, как будут выглядеть изображения производных  Обозначим 

2.3. Спектры непериодических сигналов

     Пусть задан сигнал в виде ограниченной во времени функции s(t), отличной от нуля в промежутке t₁t₂. Выделим произвольный отрезок времени T, включающий промежуток t₁t₂, далее продолжим аналитически s(t) на всю бесконечную ось с периодом T. Тогда мы сможем разложить такую периодическую функцию s(t) в гармонический ряд Фурье. В комплексной форме будем иметь:

     Полученный ряд на участке t₁t₂ будет точно соответствовать нашей функции s(t). Однако, если нас интересуют моменты времени за участком t₁t₂, то необходимо увеличить период Т, т. е. отодвинуть повторные значения функции s(t). Производя замену переменных и переходя от суммирования к интегрированию, получим

     

      где

  - спектральная плотность сигнала s(t).

Спектр непериодического сигнала сплошной (непрерывный) и распространяется на отрицательные частоты.

     Если   , то    - модуль спектральной плотности – амплитудно-частотная характеристика.

  - фазово-частотная характеристика.

Необходимое условие существования спектральной плотности 

8.Основные теоремы спектрального анализа, спектральная плотность произведения и скалярного произведения сигналов.

Спектр суммы сигналов (теорема линейности) равен сумме спектров этих сигналов. Это свойство является следствием линей­ности преобразования Фурье. В более общем виде оно может быть записано следующим образом:

где a_k — коэффициенты разложения;   — знак соответствия между сигналом и его спектром, определяемого парой преобразований Фурье.

Сдвиг сигнала во времени f(t—t₀) соответствует умножению его спектра на   :

Из (9.28) следует важный вывод о том, что при сдвиге сигнала во времени его амплитудный спектр не изменяется, а фазовый изме­няется пропорционально wt₀. Эта теорема имеет большое значение, так как в процессе обработки сигналов часто возникает необходи­мость осуществлять задержку сигнала (см. гл. 18, 19).

Изменение масштаба независимого переменного (сжатие сиг­нала) описывается выражением

Из (9.29) следует, что сжатие сигнала во времени (а > 1) приво­дит к расширению спектра сигнала и напротив — растяжение сиг­нала (а < 1) — к сужению спектра.

Перемножение двух сигналов (теорема свертки). Спектр про­изведения двух функций f₁(t) и f₂(t) соответствует свертке их спектров F₁(jw) и F₂(jw):

Важное значение имеет обратная теорема о произведении спектров сигналов:

Свертка функций широко использовалась ранее во временных ме­тодах анализа электрических цепей (см. гл. 8).

Дифференцирование и интегрирование сигнала. При дифферен­цировании сигнала его спектр умножается на оператор jw:

а при интегрировании делится на jw:

Доказательство (9.32)—(9.33) следует непосредственно из прямого и обратного преобразований Фурье. Следует подчеркнуть, что (9.33) справедливо для сигналов, удовлетворяющих условию F(0) = 0.

Смещение спектра сигнала на частоту   соответствует умно­жению сигнала на оператор   :

<

Теорема смещения (9.34) позволяет определить спектр модули­рованного сигнала и имеет большое значение в теории электриче­ской связи.

Спектральная плотность произведения сигналов.

Как известно, при суммировании сигналов их спектры складываются. Однако спектр произведения сигналов не равен произведению спектров, а выражается некоторым специальным интегральным соотношением между спектрами сомножителей.

Пусть и   — два сигнала, для которых известны соответствия   Образуем произведение этих сигналов:   и вычислим его спектральную плотность. По общему правилу

Применив обратное преобразование Фурье, выразим сигнал   через его спектральную плотность и подставим результат в (2.38):

Изменив порядок интегрирования, будем иметь

откуда

Интеграл, стоящий в правой части, называют сверткой функций V и 17. В дальнейшем будем символически обозначать операцию свертки так:

Таким образом, спектральная плотность произведения двух сигналов с точностью до постоянного числового множителя равна свертке спектральных плотностей сомножителей:

Нетрудно убедиться, что операция свертки коммутативна, т. е. допускает изменение порядка следования преобразуемых функций:

Доказанная выше теорема о свертке может быть обращена: если спектральная плотность некоторого сигнала представляется в виде произведения   причем   то сигнал   является сверткой сигналов   но уже не в частотной, а во временной области:

Элементарное доказательство этой формулы читатель может провести самостоятельно

Скалярное произведение сигналов. Энергия суммы двух произвольных сигналов u(t) и v(t) определяется выражением

E =  [u(t)+v(t)]² dt = E_u + E_v + 2 u(t)v(t) dt. (7.2.1)

Как следует из этого выражения, энергии сигналов, в отличие от самих сигналов, в общем случае не обладают свойством аддитивности. Энергия суммарного сигнала u(t)+v(t), кроме суммы энергий составляющих сигналов, содержит в себе и так называемую энергию взаимодействия сигналов или взаимную энергию

E_uv = 2 u(t)v(t) dt. (7.2.2)

Интеграл выражения (7.2.2) для двух вещественных сигналов является фундаментальной характеристикой, пропорциональной взаимной энергии сигналов. Его называют скалярным произведением сигналов

П_uv = (u(t),v(t)) = u(t)v(t) dt = ||u|| ||v|| cos  , (7.2.3)

Скалярное произведение обладает следующими свойствами

(u,v)  0;

(u,v) = (v,u);

(au,v) = a(u,v), где а – вещественное число;

(u+v, a) = (u,a) + (v,a).

Линейное пространство сигналов с таким скалярным произведением называется гильбертовым пространством Н.