6.Спектральный анализ сложных периодических сигналов с применением гарм и эксп ряда Фурье.
Значение гармонических сигналов для радиотехники обусловлено рядом причин.
В частности:
1. Гармонические сигналы инвариантны относительно преобразований, осуществляемых стационарными линейными электрическими цепями. Если такая цепь возбуждена источником гармонических колебаний, то сигнал на выходе цепи остается гармоническим с той же частотой, отличаясь от входного сигнала лишь амплитудой и начальной фазой.
2. Техника генерирования гармонических сигналов относительно проста.
Если какой-либо сигнал представлен в виде суммы гармонических колебаний с различными частотами, то говорят, - что осуществлено спектральное разложение этого сигнала. Отдельные гармонические компоненты сигнала образуют его спектр.
2.1. Периодические сигналы и ряды Фурье
Математической
моделью процесса, повторяющегося во
времени, является периодический
сигнал 
со
следующим свойством:
Здесь Т — период сигнала.
Ставится задача найти спектральное разложение такого сигнала.
Ряд Фурье.
Зададим
на отрезке времени 
рассмотренный
в гл. I ортонормированцый базис,
образованный гармоническими функциями
с кратными частотами; 
Любая
функция 
из
этого базиса удовлетворяет условию
периодичности (2.1). Поэтому, - выполнив
ортогональное разложение сигнала 
в
этом базисе, т. е. вычислив коэффициенты
получим спектральное разложение
справедливое на всей бесконечности оси времени.
Ряд
вида (2.4) называется рядом Фурье даннрго
сигнала. Введем основную
частоту 
последовательности,
образующей периодический сигнал.
Вычисляя коэффициенты разложения по
формуле (2.3), запишем ряд Фурье для
периодического сигнала
с коэффициентами
(2.6)
Итак,
в общем случае периодический сигнал
содержит не зависящую от времени
постоянную составляющую и бесконечный
набор гармонических колебаний, так
называемых гармоник с частотами 
кратными
основной частоте последовательности.
Каждую
гармонику можно описать ее амплитудой 
и
начальной фазой 
Для
этого коэффициенты ряда Фурье следует
записать в виде
так что
Подставив эти выражения в (2.5), получим другую, - эквивалентную форму ряда Фурье:
которая иногда оказывается удобнее.
Спектральная диаграмма периодического сигнала.
Так принято называть графическое изображение коэффициентов ряда Фурье для конкретного сигнала. Различают амплитудные и фазовые спектральные диаграммы (рис. 2.1).
Здесь по горизонтальной оси в некотором масштабе отложены частоты гармоник, а по вертикальной оси представлены их амплитуды и начальные фазы.
Рис. 2.1. Спектральные диаграммы некоторого периодического сигнала: а — амплитудная; б — фазовая
Особо интересуются амплитудной диаграммой, которая позволяет судить о процентном содержании тех или иных гармоник в спектре периодического сигнала.
Комплексная форма ряда Фурье.
Спектральное разложение периодического сигнала можно выполнить и несколько ионному, используя систему базисных функций, состоящую из экспонент с мнимыми показателями:
Легко
видеть, что функции этой системы
периодичны с периодом 
ортонормированы
на отрезке времени 
так
как
Ряд Фурье произвольного периодического сигнала в данном случае принимает вид
с коэффициентами
Обычно используют следующую форму записи:
Выражение (2.11) представляет собой ряд Фурье в комплексной форме.
Спектр
сигнала в соответствии с формулой (2.11)
содержит компоненты на отрицательной
полуоси частот, причем 
.
В ряде (2.11) слагаемые с положительными
и отрицательными частотами объединяются
в пары, например:
Итак, отрицательная частота — понятие не физическое, а математическое, вытекающее из способа представления комплексных чисел.