5.Комплексные частотные характеристики линейных электрических цепей

Важнейшей характеристикой линейной электрической цепи является комплексная передаточная функция H(j  ). При этом электрическую цепь удобно изображать в виде четырехполюсника (рис. 4.1), на входные зажимы (1 – 1' ) которого подается сигнал в виде напряжения с комплексной амплитудой U_m1, или тока с комплексной амплитудой I_m1, а реакция снимается с выходных зажимов (2 – 2' ) также в виде напряжения или тока с комплексными амплитудами U_m2, I_m2>. Комплексная передаточная функция (КПФ) определяется как отношение комплексной амплитуды реакции цепи к комплексной амплитуде входного воздействия.В зависимости от типов входного воздействия и реакции цепи различают следующие виды КПФ:

1. Комплексная передаточная функция по напряжению

, (4.1)

где U_m1, U_m2, U₁, U₂ – комплексные амплитуды и комплексные действующие значения напряжения воздействия на входе и напряжения реакции на выходе.

2. Комплексная передаточная функция по току

, (4.2)

где I_m1, I_m2, I₁, I₂ — комплексные амплитуды и действующие значения тока воздействия и тока реакции.

3. Комплексное передаточное сопротивление

. (4.3)

4. Комплексная передаточная проводимость

 (4.4)

Комплексные частотные характеристики цепей

Задача анализа электрической цепи была сформулирована ранее как задача определения реакции на заданное внешнее воздействие. Вынесем из рассматриваемой все ветви, содержащие независимые источники тока и напряжения, а также токи или напряжения которых подлежат определению. Оставшуюся часть цепи, содержащую идеализированные пассивные элементы управляемые источники, представим в виде многополюсника (рис. 12.1,а) Графические методы расчета переходных процессов Механические переходные процессы, имеющие место в электроприводах с асинхронными короткозамкнутыми двигателями и двигателями постоянного тока с последовательным или смешанным возбуждением, могут быть рассчитаны лишь графическими или графоаналитическими методами это объясняется нелинейностью механических характеристик указанных электродвигателей и вытекающей отсюда трудностью выражения их аналитически.

  

Рис. 12.1. Представление цепи в виде многополюсника.

Зажимы (полюса), к которым подключается каждый из независимых источников, задающих внешнее воздействие на цепь, называются входными. Зажимы, служащие для подключения нагрузки, т. е. ветви, ток или напряжение которой необходимо определить, выходными. Деление зажимов на входные и выходные является в некоторой степени условным, так как одна и та же пара зажимов может одновременно быть и входной, и выходной (например, когда внешнее воздействие на цепь задается некоторым независимым источником напряжения и требуется определить ток ветви, содержащей этот источник). Пара зажимов называется также портом или стороной многополюсника.

Из определения входных и выходных зажимов следуют важные особенности:>1) ток, втекающий через один зажим порта, равен току, вытекающему другой этого же порта;2) между парами полюсов, принадлежащих к разным портам, не должно быть никаких внешних по отношению многополюснику соединений (внутри многополюсника соединения, естественно, могут быть).Ограничимся рассмотрением случая гармонического внешнего воздействия; при этом от исследования соотношений между мгновенными значениями реакции цепи yk(t) и воздействия xn (t) можно перейти к исследованию их комплексными изображениями.Комплексной частотной характеристикой цепи называется отношение комплексных изображений отклика и воздействия:

 (12.1)

Здесь Ymk, Yk — комплексные амплитуда и действующее значение реакции цепи; Xmk, Xk внешнего воздействия; k номер выходных зажимов; v входных зажимов.

Размерность комплексной частотной характеристики (КЧХ) равна отношению размерностей отклика цепи и внешнего воздействия. В зависимости от того, какие величины (токи или напряжения) рассматриваются в качестве откликов внешних воздействий, КЧХ может иметь размерность сопротивления, проводимости быть безразмерной.

Модуль КЧХ равен отношению амплитуд или действующих значений отклика цепи и внешнего воздействия, а ее аргумент представляет собой разность начальных фаз воздействия.

Если > , КЧХ определяется выражением

 (12.2)

следовательно, КЧХ цепи численно равна комплексной амплитуде реакции на внешнее воздействие с единичной амплитудой и нулевой начальной фазой.Зависимости модуля Нkv () и аргумента kv комплексной частотной характеристики от частоты называются амплитудно-частотной (АЧХ) фазо-частотной (ФЧХ) характеристиками цепи.При графическом представлении комплексных частотных характеристик цепи обычно строят отдельно АЧХ и ФЧХ.Комплексную частотную характеристику можно изобразить и в виде одной зависимости — годографа КЧХ, построенного на комплексной плоскости. Годограф КЧХ представляет собой геометрическое место концов вектора Hkv(j), соответствующих изменению частоты от = 0 до> . На годографе указываются точки, соответствующим некоторым значением частоты , и стрелкой показывают направление перемещения конца вектора Hkv(j) при увеличении частоты. Как видно из рисунка, годограф КЧХ позволяет одновременно судить об АЧХ и ФЧХ. Годограф КЧХ называют амплитудно - фазовой характеристикой (АФХ) цепи.

Комплексные частотные характеристики цепи делятся на входные передаточные. Когда отклик и внешнее воздействие рассматриваются одних тех же зажимах цепи, КЧХ называется входной . Если отклик и внешнее воздействие задаются на разных зажимах цепи, КЧХ называется передаточной. Различают два вида входных и четыре вида передаточных характеристик. Различные виды КЧХ сведены в таблицу 6.1.

Таблица 12.1.

Виды комплексных частотных характеристик

Тип	Наименование	КЧХ	Воздействие	Реакция
входные	входное сопротивление	Zvv
	входная проводимость	Yvv
передаточные	коэффициент передачи по напряжению	Kkv
	коэффициент передачи по току	Gkv
	передаточное сопротивление	Zkv
	передаточная проводимость	Ykv

КЧХ линейных цепей не зависят от амплитуды и начальной фазы внешнего воздействия, а определяются структурой цепи параметрами входящих в нее элементов. Знание КЧХ позволяет определить реакцию на заданное гармоническое воздействие.