14.Дискретизация аналоговых сигналов. Теорема Котельникова. Ряд Котельникова

Дискретизация сообщений по времени – процедура, состоящая в замене несчетного множества мгновенных значений сигнала их счетным (дискретным) множеством, которое содержит информацию о значениях непрерывного сигнала в определенные моменты времени.

дискретизация аналоговых сигналов. Концепции дискретизации по времени и квантования по амплитуде аналогового сигнала иллюстрируются на рисунке.  

Выборка непрерывных аналоговых данных должна осуществляться через интервал дискретизации ts = 1/fs, который необходимо тщательно выбирать для точного представления первоначального аналогового сигнала. Чем больше число отсчетов (более высокие частоты дискретизации), тем более точным будет представление сигнала в цифровом виде, тогда как в случае малого числа отсчетов (низкие частоты дискретизации) может быть достигнуто критическое значение частоты дискретизации, при котором теряется информация о сигнале.

При дискретном способе передачи непрерывного сообщения можно сократить время, в течение которого канал связи занят передачей этого сообщения, с Т_с до  , где  - длительность импульса, применяемого для передачи выборки; можно осуществить одновременную передачу по каналу связи нескольких сообщений (временное уплотнение сигналов).

Наиболее простым является способ дискретизации, основанный на теореме В.А. Котельникова, сформулированной для сигналов с ограниченным спектром (теорема отсчетов):

Теоре́ма Коте́льникова (гласит, что, если аналоговый сигнал   имеет (ограниченный по ширине) спектр, то он может быть восстановлен однозначно и без потерь по своим отсчётам, взятым с частотой, строго большей удвоенной верхней частоты  :

если наивысшая частота в спектре функции s(t) меньше, чем F_m, то функция s(t) полностью определяется последовательностью своих значений в моменты, отстоящие друг от друга не более, чем на  секунд и может быть представлена рядом:

.

(1)

Здесь величина   обозначает интервал между отсчетами на оси времени, а

 - время выборки,   - значение сигнала в момент отсчета.

Ряд (1) называется рядом Котельникова, а выборки (отсчеты) сигнала {s(nT)} иногда называют временным спектром сигнала.

Функция

обладает следующими свойствами:

а) в точке t=nT функция равна 1, т.к. в этой точке аргумент функции   равен 0, а значение ее равно 1;

б) в точках t=kT,   функция  , т.к. аргумент синуса в этих точках равен  , а сам синус равен нулю;

в) спектральная плотность функции u_n(nT) равномерна в полосе частот   и равна  . Этот вывод сделан на основе теоремы взаимности частоты и времени пары преобразований Фурье. ФЧХ спектральной плотности линейна и равна   (в соответствии с теоремой о сдвиге сигнала). Таким образом,

.

15. Узкополосные сигналы. Комплексная огибающая узкополосного сигнала

По определению, сигнал называется узкополосным, если его спектральная плотность отлична от нуля лишь в пределах частотных интервалов шириной  , образующих окрестности точек   причем должно выполняться условие  .

Как правило, можно считать что частота   называемая опорной частотой сигнала, совпадает с центральной частотой спектра. Однако в общем случае выбор ее достаточно произволен.

Математическая модель узкополосного сигнала.

Прямой путь к формированию математической модели узкополосного сигнала состоит в следующем. Известно (см. гл. 2), что если   — низкочастотный сигнал, спектр которого сосредоточен в окрестности нулевой частоты, то колебание   при достаточно большом значении   будет обладать всеми необходимыми признаками узкополосного сигнала, поскольку его спектр окажется сконцентрированным в малых окрестностях точек   Узкополосным будет и сигнал   отличающийся фазой «быстрого» сомножителя. Наиболее общую математическую модель узкополосного сигнала можно получить, составив линейную комбинацию вида

Обе входящие сюда функции времени   являются низкочастотными в том смысле, что их относительные изменения за период высокочастотных колебаний   достаточно малы. Функцию   принято называть синфазной амплитудой узкополосного сигнала   при заданном значении опорной частоты   а функцию   (г) — его квадратурной амплитудой.

Синфазную и квадратурную амплитуды можно выделить аппаратурным способом. Действительно, пусть имеется перемножающее устройство, на один из входов которого подан узкополосный сигнал  , а на другой — вспомогательное колебание, изменяющееся во времени по закону   На выходе перемножителя будет получен сигнал

Пропустим выходной сигнал перемножителя через фильтр нижних частот (ФНЧ), подавляющий составляющие с частотами порядка   Ясно, что с выхода фильтра будет поступать низкочастотное колебание, пропорциональное синфазной амплитуде  .

Если на один из входов перемножителя подать вспомогательное колебание  , то такая система будет выделять из узкополосного сигнала   его квадратурную амплитуду 

Комплексное представление узкополосных сигналов.

В теории линейных электрических цепей широко применяется метод комплексных амплитуд, согласно которому гармоническое колебание выражается как вещественная или мнимая часть комплексных функций:

Не зависящее от времени число   назьтают комплексной амплитудой гармонического колебания.

С физической точки зрения узкополосные сигналы представляют собой квазигармонические колебания. Следует попытаться так обобщить метод комплексных амплитуд, чтобы иметь возможность в рамках этого метода описывать сигналы вида (5.25).

Введем комплексную низкочастотную функцию

называемую комплексной огибающей узкополосного сигнала. Легко непосредственно проверить, что

Таким образом, комплексная огибающая применительно к узкополосному сигналу играет ту же роль, что и комплексная амплитуда по отношению к простому гармоническому колебанию. Однако комплексная огибающая в общем случае зависит от времени — вектор   совершает на комплексной плоскости некоторое движение, изменяясь как по модулю, так и по направлению.